Найдите точку касания двух касательных к графику функции y=x^2-7x+12. Одна касается графика в точке с абсциссой

Для решения данной задачи, нам необходимо найти точку касания двух касательных к графику функции \(y=x^2-7x+12\).

Для начала, найдем уравнение касательной к данному графику в точке с абсциссой \(3\).

Для этого нам нужно найти производную функции \(y=x^2-7x+12\) и подставить значение \(x=3\) в полученное уравнение. Производная является скоростью изменения функции и показывает наклон касательной к графику в каждой точке.

Исходная функция: \(y=x^2-7x+12\)

Найдем производную этой функции:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2x - 7
\]

Теперь подставим значение \(x=3\) в полученную производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} \bigg|_{x=3} = 2(3) - 7 = -1
\]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции \(y=x^2-7x+12\) в точке с абсциссой \(3\) имеет вид:

\[y - (3^2-7(3)+12) = -1(x-3)\]

\[y - 6 = -1(x-3)\]

\[y - 6 = -x + 3\]

\[y = -x + 9\]

Теперь перейдем к нахождению уравнения второй касательной.

Аналогично, мы должны найти производную функции \(y=x^2-7x+12\) и подставить значение \(x\) в полученное уравнение. В данной задаче задана лишь абсцисса первой касательной, поэтому вторая касательная может иметь любую другую абсциссу \(a\).

Исходная функция: \(y=x^2-7x+12\)

Найдем производную этой функции:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2x - 7
\]

Теперь подставим значение \(x=a\) в полученную производную:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} \bigg|_{x=a} = 2a - 7
\]

Теперь у нас есть производная в виде \(2a - 7\). Чтобы точка \((a, f(a))\) лежала на графике функции \(y=x^2-7x+12\) и являлась точкой касания касательной, координаты этой точки \((a, f(a))\) должны удовлетворять уравнению функции \(y=x^2-7x+12\). Подставим эту точку в уравнение касательной:

\[f(a) = -a + 9\]

Разрешим это уравнение относительно \(a\):

\[a^2 - 7a + 12 = -a + 9\]

\[a^2 - 6a + 3 = 0\]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного корня или через формулу дискриминанта. Чтобы найти его корни, используем дискриминант:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у нас есть два корня.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения имеет вид:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

\[x_1 = \frac{{-(-6) + \sqrt{24}}}{{2 \cdot 1}}\]

\[x_2 = \frac{{-(-6) - \sqrt{24}}}{{2 \cdot 1}}\]

\[x_1 = \frac{{6 + 2\sqrt{6}}}{{2}} = 3 + \sqrt{6}\]

\[x_2 = \frac{{6 - 2\sqrt{6}}}{{2}} = 3 - \sqrt{6}\]

Таким образом, вторая касательная к графику функции \(y=x^2-7x+12\) касается графика в точке с абсциссой \(a = 3 + \sqrt{6}\) и имеет уравнение:

\[y - (a^2 - 7a + 12) = (2a - 7)(x - a)\]

\[y - (3 + \sqrt{6})^2 + 7(3 + \sqrt{6}) - 12 = (2(3 + \sqrt{6}) - 7)(x - (3 + \sqrt{6}))\]

\[y - (3 + \sqrt{6})^2 + 7(3 + \sqrt{6}) - 12 = (2(3 + \sqrt{6}) - 7)(x - (3 + \sqrt{6}))\]

\[y = (2(3 + \sqrt{6}) - 7)(x - (3 + \sqrt{6})) + (3 + \sqrt{6})^2 - 7(3 + \sqrt{6}) + 12\]

\[y = (2(3 + \sqrt{6}) - 7)(x - (3 + \sqrt{6})) + 3 + \sqrt{6} + 7\sqrt{6} + 36 - 21 - 7\sqrt{6} + 12\]

\[y = (2(3 + \sqrt{6}) - 7)(x - (3 + \sqrt{6})) + 30 + \sqrt{6}\]

Таким образом, мы нашли уравнения обеих касательных к графику функции \(y=x^2-7x+12\). Уравнение первой касательной: \(y = -x + 9\), а уравнение второй касательной: \(y = (2(3 + \sqrt{6}) - 7)(x - (3 + \sqrt{6})) + 30 + \sqrt{6}\). Точка касания двух касательных будет являться решением системы из этих двух уравнений.