Найдите сумму первых трех членов геометрической прогрессии, в которой b1+b2=51 и b2+b3=102

Давайте начнем с определения геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем умножения предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как \( b_1 \), второй член как \( b_2 \), и третий член как \( b_3 \). Также у нас есть два уравнения из условия задачи: \(b_1 + b_2 = 51\) и \(b_2 + b_3 = 102\).

Мы хотим найти сумму первых трех членов геометрической прогрессии, так что нам нужно выразить эти члены через \( b_1 \) и \( b_2 \). Для этого мы можем воспользоваться свойствами геометрической прогрессии.

Первый шаг - найти знаменатель прогрессии. Если мы разделим второй член прогрессии на первый, то получим \( \frac{{b_2}}{{b_1}} \). Также, если мы разделим третий член на второй, то получим \( \frac{{b_3}}{{b_2}} \). Поскольку это одна и та же прогрессия, оба значения должны быть одинаковыми. Так что мы можем записать уравнение:

\[
\frac{{b_2}}{{b_1}} = \frac{{b_3}}{{b_2}}
\]

Перемножим оба уравнения, чтобы избавиться от дробей:

\[
(b_2)^2 = b_1 \cdot b_3
\]

Теперь мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти значения \( b_1 \) и \( b_2 \). Исходя из первого уравнения, мы можем выразить \( b_1 \) через \( b_2 \):

\[
b_1 = 51 - b_2
\]

Подставляем это выражение во второе уравнение:

\[
(51 - b_2) + b_2 = 102
\]

Упрощаем выражение:

\[
51 + b_2 = 102
\]

Вычитаем 51 из обеих частей уравнения:

\[
b_2 = 51
\]

Теперь мы можем найти \( b_1 \):

\[
b_1 = 51 - 51 = 0
\]

Используя эти значения, мы можем найти третий член прогрессии \( b_3 \):

\[
b_3 = (b_2)^2 / b_1 = 51^2 / 0,
\]

Однако, заметим, что \( b_1 = 0 \), что делает знаменатель равным нулю. Это означает, что геометрическая прогрессия не определена, и мы не можем найти значение для третьего члена геометрической прогрессии.

Следовательно, ответ на задачу - третий член геометрической прогрессии не существует, и сумма первых трех членов прогрессии тоже не определена.