Найдите сторону основания, при которой площадь поверхности бака без крышки будет наименьшей, если бак имеет форму

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей.

Общая формула для площади поверхности параллелепипеда состоит из шести прямоугольных граней. Перед тем, как мы начнем, давайте установим некоторые обозначения для нашей задачи:

Пусть сторона основания бака будет равна \(x\), а его высота будет равна \(h\).

Теперь, площадь поверхности \(S\) параллелепипеда будет равна:
\[S = 2x^2 + 4xh\]

Нам также известно, что бак должен вмещать 500 литров воды. Поскольку мы говорим о геометрическом объеме бака, который измеряется в кубических сантиметрах, нам нужно преобразовать 500 литров в кубические сантиметры. 1 литр равен 1000 кубическим сантиметрам, поэтому 500 литров равны \(500 \times 1000 = 500000\) кубическим сантиметрам.

Теперь, мы знаем, что объем параллелепипеда равен площади основания, умноженной на его высоту. В нашем случае это равно:
\[x^2h = 500000\]

Теперь нам необходимо найти сторону основания \(x\), при которой площадь поверхности будет минимальной. Для этого мы можем взять производную от функции площади поверхности по \(x\) и приравнять ее к нулю.

Давайте найдем эту производную:
\[\frac{dS}{dx} = 4x + 4h\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим это уравнение относительно \(x\):
\[4x + 4h = 0\]

\[4x = -4h\]

\[x = -h\]

Получается, что сторона основания \(x\) должна быть равна отрицательной высоте \(h\), чтобы площадь поверхности была минимальной.

Так как размеры не могут быть отрицательными, это означает, что мы должны выбрать максимальное значение для \(x\) и минимальное значение для \(h\). То есть \(x\) должна быть максимально возможной стороной квадратного основания, а \(h\) - минимальной высотой.

Таким образом, чтобы площадь поверхности бака без крышки была наименьшей, сторона основания бака должна быть максимально возможной, а именно - квадратом, и его высота должна быть минимальной.