Найдите среднее количество бросков, при которых из n игральных костей выпадает ровно m шестерок, при условии, что общее

Для решения данной задачи о среднем количестве бросков, при которых из n игральных костей выпадает ровно m шестерок, мы можем использовать комбинаторику.

Давайте представим, что каждый бросок игральной кости можно считать независимым экспериментом, где вероятность выпадения шестерки равна 1/6, так как на стандартной игральной кости шестерок всего 6.

Теперь, чтобы найти среднее количество бросков до выпадения m шестерок из n игральных костей, нам необходимо просуммировать все возможные результаты и разделить на общее количество возможных исходов.

Допустим, мы обозначим среднее количество бросков как E(m, n). Тогда у нас есть два возможных случая:

1) Когда первый бросок приводит к выпадению шестерки:
- Ожидаемое количество бросков для этого случая составляет 1.
- Остается найти среднее количество бросков для получения m-1 шестерок из n-1 игральных костей.
- То есть, E(m-1, n-1).

2) Когда первый бросок не приводит к выпадению шестерки:
- Ожидаемое количество бросков для этого случая составляет 1.
- Остается найти среднее количество бросков для получения m шестерок из n-1 игральных костей.
- То есть, E(m, n-1).

Таким образом, мы можем записать рекуррентное соотношение для нахождения среднего количества бросков для данной задачи:

\[E(m, n) = \frac{1}{6} \cdot (1 + E(m-1, n-1)) + \frac{5}{6} \cdot (1 + E(m, n-1))\]

Важно заметить, что для базовых случаев, когда m = 0 или n = 0, среднее количество бросков будет равно нулю, так как нам не нужно бросать кубики, чтобы получить 0 шестерок.

Мы можем использовать эту формулу для нахождения среднего количества бросков для любых заданных значений m и n. Рекурсия будет идти от m = 0 до m и n = 0 до n, пошагово вычисляя значения среднего количества бросков.

Например, рассмотрим задачу, где n = 3 (три игральные кости) и m = 1 (одна шестерка).

Сначала вычислим E(0, 3), E(1, 3), E(2, 3) и E(3, 3) и запомним их значения. Затем, используя рекуррентное соотношение, найдем E(1, 2), E(2, 2), E(3, 2) и так далее, пока не дойдем до E(1, 1), E(2, 1) и E(3, 1). Наконец, используя значения E(1, 1), E(2, 1) и E(3, 1), мы найдем E(1, 0), E(2, 0) и E(3, 0). Таким образом, мы найдем E(1, 3), E(2, 3) и E(3, 3), которые являются средними количествами бросков для данной задачи.

Вот одно возможное решение для данной задачи. Помните, что это лишь один из способов решения и возможны и другие подходы к данной задаче.