Найдите скорость шариков после их столкновения и слияния

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом, чтобы ответ был максимально понятным для школьника.

Предположим, у нас есть два шарика, массой \( m_1 \) и \( m_2 \) соответственно, которые движутся с начальными скоростями \( v_1 \) и \( v_2 \). Наша задача - найти скорость шариков после их столкновения и слияния. Для этого мы будем использовать законы сохранения импульса и энергии.

1. Закон сохранения импульса:

Поскольку шарики сталкиваются и сливаются, общий импульс системы до столкновения должен быть равен общему импульсу после слияния.

Импульс - это произведение массы на скорость. Имея это в виду, мы можем записать уравнение:

\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_f \]

где \( v_f \) - скорость шариков после слияния.

2. Закон сохранения энергии:

Также можем использовать закон сохранения энергии - кинетическую энергию системы до столкновения должна быть равной кинетической энергии после слияния.

Кинетическая энергия - это половина произведения массы на квадрат скорости. Запишем уравнение:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \cdot v_f^2 \]

Теперь у нас есть два уравнения (закона сохранения импульса и закона сохранения энергии) с двумя неизвестными: \( v_f \) и \( m_1 + m_2 \). Решим их для нахождения \( v_f \).

Сначала выразим \( v_1 \) из первого уравнения:

\[ v_1 = \frac{(m_1 + m_2) \cdot v_f - m_2 \cdot v_2}{m_1} \]

Теперь подставим это выражение для \( v_1 \) во второе уравнение:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot \left(\frac{(m_1 + m_2) \cdot v_f - m_2 \cdot v_2}{m_1}\right)^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \cdot v_f^2 \]

Распишем это уравнение и проведем нужные вычисления. Получим:

\[ \frac{(m_1 + m_2)^2 \cdot v_f^2 - 2 \cdot (m_1 + m_2) \cdot m_2 \cdot v_f \cdot v_2 + m_2^2 \cdot v_2^2}{2 \cdot m_1} + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \cdot v_f^2 \]

Далее проведем алгебраические преобразования, чтобы выразить искомую скорость шариков после слияния \( v_f \). Отсюда можно получить окончательный ответ.

Прошу обратить внимание, что ответ будет содержать определенные значения массы \( m_1 \) и \( m_2 \), а также начальные скорости \( v_1 \) и \( v_2 \). Эти значения нужно будет подставить вместо переменных в уравнение, чтобы получить числовое значение \( v_f \).