Найдите скалярное произведение векторов a→ и b→, выраженных как a→=3⋅u→−4⋅n→

Question

Геометрия: Найдите скалярное произведение векторов a→ и b→, выраженных как a→=3⋅u→−4⋅n→, b→=3⋅u→+3⋅n→, где векторы u→ и n→ взаимно перпендикулярны и имеют одинаковую длину

Черная_Магия · Accepted Answer

Для нахождения скалярного произведения векторов a→ и b→, нам необходимо перемножить соответствующие компоненты этих векторов и сложить полученные произведения.

Дано:
a→ = 3⋅u→ - 4⋅n→
b→ = 3⋅u→ + 3⋅n→

Перепишем векторы в координатной форме:
a→ = (3u₁ - 4n₁)î + (3u₂ - 4n₂)ĵ + (3u₃ - 4n₃)k̂
b→ = (3u₁ + 4n₁)î + (3u₂ + 4n₂)ĵ + (3u₃ + 4n₃)k̂

Теперь найдем скалярное произведение:
a→ • b→ = (3u₁ - 4n₁)(3u₁ + 4n₁) + (3u₂ - 4n₂)(3u₂ + 4n₂) + (3u₃ - 4n₃)(3u₃ + 4n₃)

Раскроем скобки:
a→ • b→ = 9u₁² - 12u₁n₁ + 12u₁n₁ - 16n₁² + 9u₂² - 12u₂n₂ + 12u₂n₂ - 16n₂² + 9u₃² - 12u₃n₃ + 12u₃n₃ - 16n₃²

Сократим подобные члены:
a→ • b→ = 9u₁² - 16n₁² + 9u₂² - 16n₂² + 9u₃² - 16n₃²

Так как векторы u→ и n→ взаимно перпендикулярны и имеют одинаковую длину, то их квадраты будут равны, то есть:
u₁² = u₂² = u₃² = u²
n₁² = n₂² = n₃² = n²

Подставляем эти значения в предыдущее выражение:
a→ • b→ = 9u² - 16n² + 9u² - 16n² + 9u² - 16n²
= 27u² - 48n²

Таким образом, скалярное произведение векторов a→ и b→ равно 27u² - 48n².

Я надеюсь, что объяснение было понятным и полезным. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать их.

Найдите скалярное произведение векторов a→ и b→, выраженных как a→=3⋅u→−4⋅n→, b→=3⋅u→+3⋅n→, где векторы u→ и n→ взаимно

Черная_Магия

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!