Найдите синус угла между плоскостями π1

и π2, заданными уравнениями:

π1: 2x - 3y + 5z = 7
π2: x - 2y + 4z = 8

Для того, чтобы найти синус угла между этими двумя плоскостями, мы можем использовать формулу:

sin(θ) = |n1 · n2| / (|n1| · |n2|),

где θ - угол между плоскостями π1 и π2, n1 и n2 - нормальные векторы плоскостей.

Давайте найдем нормальные векторы для обеих плоскостей.

Для плоскости π1:
2x - 3y + 5z = 7.

Чтобы найти нормальный вектор для этой плоскости, мы можем использовать коэффициенты при переменных x, y и z и записать их в виде вектора (a, b, c).

Таким образом, нормальный вектор для плоскости π1 будет равен (2, -3, 5).

Для плоскости π2:
x - 2y + 4z = 8.

Аналогично, нормальный вектор для плоскости π2 будет равен (1, -2, 4).

Теперь можем приступить к вычислению синуса угла между плоскостями.

Найдем длины нормальных векторов:

|n1| = √(2^2 + (-3)^2 + 5^2) = √(4 + 9 + 25) = √38,
|n2| = √(1^2 + (-2)^2 + 4^2) = √(1 + 4 + 16) = √21.

Теперь найдем скалярное произведение нормальных векторов:

n1 · n2 = 2 * 1 + (-3) * (-2) + 5 * 4 = 2 + 6 + 20 = 28.

Теперь можем подставить все значения в формулу и вычислить синус угла:

sin(θ) = |n1 · n2| / (|n1| · |n2|) = |28| / (√38 * √21) = 28 / (√38 * √21).

Таким образом, мы нашли синус угла между плоскостями π1 и π2. Вычисления показали, что синус угла будет равен 28 / (√38 * √21).