Какова площадь треугольника, если его вершины находятся в точках A(4;0), B(10;8) и C(6;11)?

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника, известную как "формула Герона". Однако, в данной задаче мы можем применить более простой метод.

Для того чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать координаты его вершин и формулу площади треугольника, основанную на половине произведения длин двух его сторон и синуса угла между ними.

1. Вначале нам необходимо вычислить длину сторон треугольника.

Сторона AB:
Длина стороны AB можно вычислить с помощью теоремы Пифагора. Расстояние между точками A(4, 0) и B(10, 8) можно найти по формуле:

\[AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

где \(x_1\) и \(y_1\) - координаты точки A, а \(x_2\) и \(y_2\) - координаты точки B.

Подставим в формулу значения:

\[AB = \sqrt{(10 - 4)^2 + (8 - 0)^2}\]
\[AB = \sqrt{6^2 + 8^2}\]
\[AB = \sqrt{36 + 64}\]
\[AB = \sqrt{100}\]
\[AB = 10\]

Сторона BC и сторона CA можно вычислить аналогичным образом, используя координаты вершин.

BC:
\[BC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

\[BC = \sqrt{(6 - 10)^2 + (11 - 8)^2}\]
\[BC = \sqrt{(-4)^2 + 3^2}\]
\[BC = \sqrt{16 + 9}\]
\[BC = \sqrt{25}\]
\[BC = 5\]

CA:
\[CA = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

\[CA = \sqrt{(4 - 6)^2 + (0 - 11)^2}\]
\[CA = \sqrt{(-2)^2 + (-11)^2}\]
\[CA = \sqrt{4 + 121}\]
\[CA = \sqrt{125}\]
\[CA = 5\sqrt{5}\]

2. Теперь вычислим площадь треугольника.

Мы знаем длины всех трех сторон треугольника. Чтобы использовать формулу для нахождения площади треугольника, нам также понадобится угол между двумя известными сторонами. В данной задаче у нас нет этой информации.

Однако, мы можем использовать одну из сторон и высоту, опущенную на эту сторону, для нахождения площади треугольника.

Высоту треугольника можно построить, используя координаты вершин. Высота будет перпендикулярна стороне BC и опущена из вершины A.

Вектор, параллельный стороне BC: \(\vec{u} = (x_B - x_C, y_B - y_C) = (10 - 6, 8 - 11) = (4, -3)\)
Вектор, направленный из точки A до точки B: \(\vec{v} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (10 - 4, 8 - 0) = (6, 8)\)

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника с помощью формулы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h\]

где \(BC\) - сторона треугольника, \(h\) - высота.

Площадь треугольника будет равна:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4\]

\[S = 20\]

Ответ:
Площадь треугольника со сторонами AB, BC и CA, заданными координатами A(4;0), B(10;8) и C(6;11) равна 20 квадратных единиц (единица измерения не указана и зависит от контекста).