Найдите решение уравнения при sin^2 x/4-cos^2 x/4=-√3/2

Для начала, давайте преобразуем данное уравнение. У нас есть уравнение:

\(\frac{\sin^2(x)}{4} - \frac{\cos^2(x)}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Для удобства, домножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

\(\sin^2(x) - \cos^2(x) = -2\sqrt{3}\)

Далее, воспользуемся формулой разности квадратов. Формула разности квадратов гласит:

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Применяя эту формулу к нашему уравнению, мы получим:

\((\sin(x) + \cos(x))(\sin(x) - \cos(x)) = -2\sqrt{3}\)

Теперь давайте упростим второе слагаемое в скобках. Заменим \(\sin(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\) (используя известное тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)):

\((\sin(x) + \cos(x))(1 - \cos^2(x) - \cos(x)) = -2\sqrt{3}\)

Сокращаем общий множитель \(\sin(x) + \cos(x)\):

\((1 - \cos^2(x) - \cos(x)) = -2\sqrt{3}\)

Теперь раскроем скобки:

\(1 - \cos^2(x) - \cos(x) = -2\sqrt{3}\)

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

\(-\cos^2(x) - \cos(x) - 2\sqrt{3} = -1\)

Добавим 1 к обеим частям уравнения:

\(-\cos^2(x) - \cos(x) - 2\sqrt{3} + 1 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем записать его в виде:

\(-\cos^2(x) - \cos(x) - 2\sqrt{3} + 1 = 0\)

Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения решений. Для начала, заметим, что у нас есть отрицательная степень \(\cos\). Чтобы избежать этого, давайте заменим \(\cos(x)\) на переменную \(t\):

\(-t^2 - t - 2\sqrt{3} + 1 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида:

\[At^2 + Bt + C = 0\]

где \(A = -1\), \(B = -1\) и \(C = -2\sqrt{3} + 1\).

Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для нахождения решений данного квадратного уравнения. Формула дискриминанта гласит:

\[D = B^2 - 4AC\]

Подставим значения:

\[D = (-1)^2 - 4(-1)(-2\sqrt{3} + 1)\]

Упростим выражение:

\[D = 1 - 4(-2\sqrt{3} + 1)\]
\[D = 1 + 8\sqrt{3} - 4\]
\[D = 9 + 8\sqrt{3}\]

Теперь проверим значение дискриминанта. Если \(D\) равно 0, то у нас есть одно решение. Если \(D\) больше 0, то у нас есть два решения. Если \(D\) меньше 0, то у уравнения нет решений.

\[D = 9 + 8\sqrt{3} > 0\]

Так как \(D\) больше 0, у нас есть два решения для нашего квадратного уравнения. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения этих значений:

\[t = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}\]

Подставим значения:

\[t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9 + 8\sqrt{3}}}{2(-1)}\]

Упростим выражение:

\[t = \frac{1 \pm \sqrt{9 + 8\sqrt{3}}}{-2}\]

Теперь у нас есть два значения для \(t\). Чтобы найти значения для \(x\), мы должны вернуться к исходному уравнению и заменить \(t\) обратно на \(\cos(x)\):

\[\cos(x) = \frac{1 \pm \sqrt{9 + 8\sqrt{3}}}{-2}\]

Таким образом, решениями исходного уравнения являются значения \(x\), для которых \(\cos(x)\) равен \(\frac{1 \pm \sqrt{9 + 8\sqrt{3}}}{-2}\).

Это формальное математическое решение уравнения, однако можно использовать специальные инструменты или калькулятор, чтобы получить численные значения для \(\cos(x)\) и \(x\), если точность вычислений важна. Но обычно это уже достаточно, чтобы провести анализ и понять, как получить ответ.