Найдите решение уравнения 8sin^2x-2√3cos(π/2-x)-9=0 в интервале [-5π/2

Хорошо, решим данное уравнение шаг за шагом.

Дано уравнение: \(8\sin^2x - 2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 9 = 0\).

1. Заметим, что \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\), так как это тождество для всех углов.

2. Подставим это значение в уравнение и упростим:

\[8\sin^2x - 2\sqrt{3}\sin x - 9 = 0.\]

3. Обозначим \(\sin x = t\). Тогда уравнение принимает вид:

\[8t^2 - 2\sqrt{3}t - 9 = 0.\]

4. Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение относительно \(t\). Мы можем использовать квадратное уравнение вида \(at^2 + bt + c = 0\) в общей формуле решения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Подставим значения для нашего уравнения:

\[t = \frac{-(-2\sqrt{3}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4(8)(-9)}}{2(8)}.\]

5. Выполним вычисления:

\[t = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 288}}{16}.\]
\[t = \frac{2\sqrt{3} \pm \sqrt{300}}{16}.\]
\[t = \frac{2\sqrt{3} \pm 10\sqrt{3}}{16}.\]
\[t = \frac{2\sqrt{3} \pm 10\sqrt{3}}{16}.\]
\[t = \frac{\sqrt{3}(2 \pm 10)}{16}.\]
\[t = \frac{\sqrt{3}(12)}{16} \quad \text{или} \quad t = \frac{\sqrt{3}(-8)}{16}.\]
\[t = \frac{3\sqrt{3}}{4} \quad \text{или} \quad t = \frac{-2\sqrt{3}}{4}.\]
\[t = \frac{3\sqrt{3}}{4} \quad \text{или} \quad t = -\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

У нас два возможных значения для \(t\).

6. Вспомним, что мы обозначили \(t = \sin x\).

Для первого значения:
\(\sin x = \frac{3\sqrt{3}}{4}\), можем решить это уравнение:
\(x = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)\).

Для второго значения:
\(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), можем решить это уравнение:
\(x = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)\).

Таким образом, решения уравнения \(8\sin^2x - 2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 9 = 0\) в интервале \([-5\pi/2, -\pi/2]\) равны:

\(x = \arcsin\left(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)\)

и

\(x = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)\).