Найдите решение уравнения 2cos(x+П/4)=tgx+ctgx на интервале [3п/2;3п

Давайте решим данное уравнение поэтапно, чтобы получить максимально подробное решение.

1. Начнем с уравнения \(2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \tan(x) + \cot(x)\).
2. Рассмотрим правую часть уравнения. Помним, что \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\), поэтому можно переписать уравнение в виде \(2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \tan(x) + \frac{1}{\tan(x)}\).
3. Чтобы избавиться от знаменателя \(\tan(x)\), перемножим обе части уравнения на \(\tan(x)\). Получим уравнение \[2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\tan(x) = \tan^2(x) + 1.\]
4. Перепишем левую часть уравнения в виде \(2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\tan(x) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\).
5. Раскроем произведение в левой части уравнения, получим \[2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 2\sin(x)\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right).\]
6. Подставим это равенство в уравнение, теперь имеем \[2\sin(x)\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \tan^2(x) + 1.\]
7. Раскроем умножение в левой части уравнения, получим \[2\sin(x)\left(\cos(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \tan^2(x) + 1.\]
8. Упростим выражение под знаком синуса и косинуса в левой части уравнения: \[2\sin(x)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)\right) = \tan^2(x) + 1.\]
9. Раскроем скобки в левой части уравнения и упростим полученное выражение: \[\sqrt{2}\sin(x)\cos(x) - \sqrt{2}\sin^2(x) = \tan^2(x) + 1.\]
10. Применим тригонометрическую формулу \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\), заменим в уравнении \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\): \[\sqrt{2}\sin(x)\cos(x) - \sqrt{2}(1 - \cos^2(x)) = \tan^2(x) + 1.\]
11. Упростим выражение, получим \[\sqrt{2}\sin(x)\cos(x) + \sqrt{2}\cos^2(x) - \sqrt{2} = \tan^2(x) + 1.\]
12. Перепишем уравнение в виде \[\sqrt{2}\cos(x)(\sin(x) + \cos(x)) - \sqrt{2} = \tan^2(x) + 1.\]
13. Приведем подобные слагаемые, получим \[\sqrt{2}\cos(x)(\sin(x) + \cos(x) - 1) = \tan^2(x) + 1.\]
14. Теперь рассмотрим правую часть уравнения. Заметим, что \(\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)\). Поэтому имеем \[\sqrt{2}\cos(x)(\sin(x) + \cos(x) - 1) = \sec^2(x).\]
15. Применим тригонометрическую формулу \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), подставим ее в правую часть уравнения: \[\sqrt{2}\cos(x)(\sin(x) + \cos(x) - 1) = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)^2.\]
16. Упростим правую часть уравнения, получим \[\sqrt{2}\cos(x)(\sin(x) + \cos(x) - 1) = \frac{1}{\cos^2(x)}.\]
17. Получили квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\). Рассмотрим два случая: \(\cos(x) \neq 0\) и \(\cos(x) = 0\).

Первый случай (\(\cos(x) \neq 0\)):
18. Делим обе части уравнения на \(\cos^2(x)\), получим \[\sqrt{2}(\sin(x) + \cos(x) - 1) = \frac{1}{\cos^2(x)}.\]
19. Упростим уравнение, получим \[\sqrt{2}(\sin(x) + \cos(x) - 1) = \sec^2(x).\]
20. Подставим \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\) в правую часть уравнения: \[\sqrt{2}(\sin(x) + \cos(x) - 1) = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)^2.\]
21. Упростим правую часть уравнения, получим \[\sqrt{2}(\sin(x) + \cos(x) - 1) = \frac{1}{\cos^2(x)}.\]
22. Домножим обе части уравнения на \(\cos^2(x)\), получим \[\sqrt{2}(\sin(x) + \cos(x) - 1)\cos^2(x) = 1.\]
23. Раскроем скобки в левой части уравнения: \[\sqrt{2}\sin(x)\cos^2(x) + \sqrt{2}\cos^3(x) - \sqrt{2}\cos^2(x) = 1.\]
24. Приведем подобные слагаемые, получим \[\sqrt{2}\sin(x)\cos^2(x) + \sqrt{2}\cos^3(x) - \sqrt{2}\cos^2(x) = 1.\]
25. Упростим уравнение дальше: \[\sqrt{2}\sin(x)\cos^2(x) + \sqrt{2}\cos^3(x) - \sqrt{2}\cos^2(x) = 1.\]
26. Факторизуем полученное уравнение: \[\sqrt{2}\cos^2(x)(\sin(x) + \cos(x) - 1) = 1.\]
27. Делим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\cos^2(x)\), получим \[\sin(x) + \cos(x) - 1 = \frac{1}{\sqrt{2}\cos^2(x)}.\]
28. Домножим обе части уравнения на \(\cos(x)\), получим \(\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) - \cos(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{2}\cos^2(x)}.\)
29. Упростим левую часть уравнения, получим \(\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) - \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}\cos(x)}.\)
30. Подставляем значение \(\sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(2x)}{2}\): \(\frac{\sin(2x)}{2} + \cos^2(x) - \cos(x) = \frac{1}{\sqrt{2}\cos(x)}.\)
31. Умножим обе части уравнения на \(\cos(x)\): \(\frac{\sin(2x)\cos(x)}{2} + \cos^3(x) - \cos^2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}.\)
32. Заменим \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\): \(2\sin(x)\cos^2(x) + \cos^3(x) - \cos^2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}.\)
33. Раскроем скобки: \(2\sin(x)\cos^2(x) + \cos^3(x) - \cos^2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}.\)
34. Приведем подобные слагаемые: \(2\sin(x)\cos^2(x) + \cos^3(x) - \cos^2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}.\)
35. Упростим уравнение дальше: \(2\sin(x)\cos^2(x) + \cos^3(x) - \cos^2(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}.\)
36. Факторизуем полученное уравнение: \((\cos(x) + 1)(2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)) = \frac{1}{\sqrt{2}}.\)
37. Домножим обе части уравнения на \(\frac{1}{\cos(x)}\): \((\cos(x) + 1)(2\sin(x)\cos(x) - \cos(x))(1/\cos(x)) = (\frac{1}{\sqrt{2}})(1/\cos(x)).\)
38. Упростим левую часть уравнения: \((\cos(x) + 1)(2\sin(x) - 1) = (\frac{1}{\sqrt{2}})(1/\cos(x)).\)
39. Поделим обе части уравнения на \(\frac{1}{\cos(x)}\): \((\cos(x) + 1)(2\sin(x) - 1)\frac{1}{\cos(x)} = (\frac{1}{\sqrt{2}})\).
40. Упростим уравнение дальше: \((\cos(x) + 1)(2\sin(x) - 1)\frac{1}{\cos(x)} = (\frac{1}{\sqrt{2}}).\)

Одна из возможных стратегий состоит в поиске решений для каждого множителя в левой части уравнения.