Как найти решение уравнения 4^log2(-cosx)+2^1,5*3^log9(2sin^2x)=1?

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

1. Вначале заметим, что у нас есть два слагаемых: \(4^{\log_2(-\cos x)}\) и \(2^{1.5} \cdot 3^{\log_9(2\sin^2 x)}\). Для удобства, рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

2. Рассмотрим первое слагаемое \(4^{\log_2(-\cos x)}\). Отметим, что основание степени равно 4, поэтому воспользуемся свойством логарифма: \(a^{\log_a b} = b\). Применяя это свойство, мы получим следующее: \(4^{\log_2(-\cos x)} = -\cos x\).

3. Теперь рассмотрим второе слагаемое \(2^{1.5} \cdot 3^{\log_9(2\sin^2 x)}\). Заметим, что у нас есть два основания степени: 2 и 3. Мы можем записать \(2^{1.5} = (2^{0.5})^3\) и \(3^{\log_9(2\sin^2 x)} = (3^{\frac{1}{2}})^{\log_9(2\sin^2 x)}\). Это позволяет нам использовать следующий факт: \((a^b)^c = a^{bc}\). Применив его, получим: \(2^{1.5} \cdot 3^{\log_9(2\sin^2 x)} = (2^{0.5})^3 \cdot (3^{\frac{1}{2}})^{\log_9(2\sin^2 x)} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot (2\sin^2 x)^{\frac{1}{2}}\).

4. Теперь, объединим оба слагаемых: \(-\cos x + 2^{\frac{3}{2}} \cdot (2\sin^2 x)^{\frac{1}{2}}\).

5. Для уравнения \(4^{\log_2(-\cos x)}+2^{\frac{3}{2}} \cdot (2\sin^2 x)^{\frac{1}{2}} = 1\) заведем вспомогательную переменную \(y\) и запишем исходное выражение в виде \(y = -\cos x + 2^{\frac{3}{2}} \cdot (2\sin^2 x)^{\frac{1}{2}}\).

6. Теперь уравнение принимает вид \(y=1\).

7. Решим полученное уравнение: \(-\cos x + 2^{\frac{3}{2}} \cdot (2\sin^2 x)^{\frac{1}{2}} = 1\). Чтобы решить это уравнение, мы необходимо выразить \(\cos x\) и \(\sin x\).

8. Используем известные тригонометрические равенства: \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) и \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\). Теперь мы можем выразить \(\cos x\): \(\cos x = \sqrt{1-\sin^2 x}\).

9. Подставим выражение для \(\cos x\) в уравнение: \(-\sqrt{1-\sin^2 x} + 2^{\frac{3}{2}} \cdot (2\sin^2 x)^{\frac{1}{2}} = 1\).

10. Приведем изначальное уравнение к более простому виду: \(-\sqrt{1-\sin^2 x} + 2\sin x = 1\).

11. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \((-1+\sin x)^2 = (1-\sin^2 x) + 4\sin x\).

12. Раскроем скобки: \(1 - 2\sin x + \sin^2 x = 1 - \sin^2 x + 4\sin x\).

13. Перенесем все члены в одну часть уравнения, получив: \(\sin^2 x + 6\sin x - 2 = 0\).

14. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Решим его с помощью квадратного корня: \(\sin x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot -2}}{2 \cdot 1}\).

15. Выполним вычисления: \(\sin x = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2}\).

16. Приведем дроби к общему знаменателю и разделим на 2: \(\sin x = -3 \pm \sqrt{10}\).

17. Получили два возможных значения для \(\sin x\): \(\sin x = -3 + \sqrt{10}\) и \(\sin x = -3 - \sqrt{10}\).

18. Ответ: \(\sin x = -3 + \sqrt{10}\) либо \(\sin x = -3 - \sqrt{10}\).

Таким образом, решение уравнения \(4^{\log_2(-\cos x)}+2^{\frac{3}{2}} \cdot (2\sin^2 x)^{\frac{1}{2}} = 1\) состоит из двух значений для переменной \(\sin x\).