Найдите решение следующего неравенства: 3/x^2+13x+40 > = 1/x^2+15x+56

Хорошо, давайте решим данное неравенство пошагово и подробно.

Неравенство, которое нам дано, выглядит следующим образом:

\[\frac{3}{{x^2+13x+40}} \geq \frac{1}{{x^2+15x+56}}\]

Прежде чем начать решение, давайте сделаем первый шаг и приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель в первой дроби уже является квадратным трехчленом, но второй знаменатель нам нужно привести к такому же виду.

Мы видим, что \(x^2+15x+56\) также является квадратным трехчленом, поэтому сразу же приведем его к каноническому виду, чтобы нам было легче работать: \((x+7)(x+8)\). Теперь приведем неравенство к общему знаменателю:

\[\frac{3}{{x^2+13x+40}} \geq \frac{1}{{(x+7)(x+8)}}\]

Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на \((x^2+13x+40)(x+7)(x+8)\):

\[3(x+7)(x+8) \geq (x^2+13x+40)\]

Продолжим развивать это неравенство. Умножим скобки:

\[3(x^2+7x+8x+56) \geq x^2+13x+40\]

Раскроем скобки и соединим подобные члены:

\[3x^2+21x+24x+168 \geq x^2+13x+40\]

Соберем все члены в левой части неравенства:

\[3x^2+45x+168 \geq x^2+13x+40\]

Перенесем все члены в правую часть неравенства, чтобы левая часть была равна нулю:

\[3x^2+45x+168 - (x^2+13x+40) \geq 0\]

Выполним вычитание и упростим выражение:

\[2x^2+32x+128 \geq 0\]

Теперь нам нужно найти корни квадратного трехчлена, чтобы определить, где находятся его точки пересечения с осью \(x\) и дальше анализировать знаки функции.

Для начала, поделим все коэффициенты на 2 для упрощения:

\[x^2 + 16x + 64 \geq 0\]

Теперь нам нужно найти корни этого уравнения. Для этого можем воспользоваться формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 16\) и \(c = 64\).

Вычислим дискриминант:

\[D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 256 - 256 = 0\]

Так как дискриминант равен нулю, значит, у нас есть один действительный корень. Найдем его с помощью формулы: \(x = -\frac{b}{2a}\). Подставим значения в формулу:

\[x = -\frac{16}{2 \cdot 1} = -8\]

Таким образом, у нас есть один корень \(x = -8\). Этот корень является вершиной параболы \(x^2 + 16x + 64\).

Мы знаем, что парабола с положительным \(a\) и нулевым дискриминантом имеет левую выпуклость и вершина параболы является минимумом функции. Так как у нас имеется неравенство \(\geq\), это означает, что вся область значений, включая вершину параболы, будет удовлетворять неравенству.

То есть, решением неравенства \(2x^2+32x+128 \geq 0\) будет любое значение \(x\) такое, что \(x \leq -8\).

Возвращаясь к исходному неравенству, мы можем сказать, что решением будет любое значение \(x\) такое, что \(x \leq -8\).

Итак, решение данного неравенства: \(x \leq -8\).