Найдите решение системы уравнений: {x²+4x+y²-4y=2xy+5, {x+y=2. Запишите ответ в следующем порядке: первая строка

Хорошо, давайте решим эту систему уравнений пошагово.

Исходная система уравнений:

\[
\begin{cases}
x^2 + 4x + y^2 - 4y = 2xy + 5 \\
x + y = 2
\end{cases}
\]

Для начала, преобразуем второе уравнение для того, чтобы получить значение одной переменной в терминах другой. Выразим переменную \(x\) через \(y\):

\[
x = 2 - y
\]

Теперь, подставим это выражение для \(x\) в первое уравнение:

\[
(2 - y)^2 + 4(2 - y) + y^2 - 4y = 2(2 - y)y + 5
\]

Раскроем скобки:

\[
4 - 4y + y^2 + 8 - 4y + y^2 - 4y = 4y - 2y^2 + 5
\]

Сгруппируем все одинаковые члены:

\[
2y^2 - 16y + 3 = 0
\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \(y\). Давайте решим его, используя квадратное уравнение.

Используя формулу дискриминанта, найдем значение дискриминанта \(D\):

\[
D = b^2 - 4ac
\]

где \(a = 2\), \(b = -16\), и \(c = 3\).

\[
D = (-16)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 256 - 24 = 232
\]

Теперь, найдем значения \(y\) с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\[
y = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}
\]

Подставим значения \(a = 2\), \(b = -16\), и \(D = 232\) в формулу:

\[
y = \frac{{16 \pm \sqrt{232}}}{{4}} = \frac{{16 \pm 2\sqrt{58}}}{{4}} = 4 \pm \frac{{\sqrt{58}}}{{2}}
\]

Таким образом, у нас получилось два корня для переменной \(y\):

\[
y_1 = 4 + \frac{{\sqrt{58}}}{{2}}
\]
\[
y_2 = 4 - \frac{{\sqrt{58}}}{{2}}
\]

Теперь найдем соответствующие значения переменной \(x\) с использованием второго уравнения \(x + y = 2\). Подставим значения найденных корней \(y\) в это уравнение:

\[
x_1 = 2 - y_1 = 2 - \left(4 + \frac{{\sqrt{58}}}{{2}}\right)
\]
\[
x_2 = 2 - y_2 = 2 - \left(4 - \frac{{\sqrt{58}}}{{2}}\right)
\]

После выполнения всех необходимых вычислений, находим окончательные ответы:

\[
\text{Первый корень:} \begin{cases}
x_1 = 2 - \left(4 + \frac{{\sqrt{58}}}{{2}}\right) \\
y_1 = 4 + \frac{{\sqrt{58}}}{{2}}
\end{cases}
\]

\[
\text{Второй корень:} \begin{cases}
x_2 = 2 - \left(4 - \frac{{\sqrt{58}}}{{2}}\right) \\
y_2 = 4 - \frac{{\sqrt{58}}}{{2}}
\end{cases}
\]

Это и есть решения исходной системы уравнений. Пожалуйста, проверьте, что полученные значения удовлетворяют оба исходных уравнения.