Найдите решение системы уравнений: X^2 - xy = 2 4y^2 - 3xy

Хорошо, рассмотрим данную систему уравнений.
У нас есть два уравнения:
\[X^2 - xy = 2\]
\[4y^2 - 3xy = 0\]

Давайте попробуем решить систему пошагово. Чтобы упростить задачу, давайте представим, что переменные \(X\) и \(y\) независимы друг от друга.

Сначала решим второе уравнение относительно \(X\). Перепишем его в виде:
\[X = \frac{{4y^2}}{{3y}} = \frac{{4y}}{{3}}\]

Теперь, подставив это значение \(X\) в первое уравнение, получим:
\[\left(\frac{{4y}}{{3}}\right)^2 - \frac{{4y}}{{3}} \cdot y = 2\]

Раскроем скобки и упростим:
\[\frac{{16y^2}}{{9}} - \frac{{4y^2}}{{3}} = 2\]

Приведем дроби с общим знаменателем:
\[\frac{{16y^2 - 12y^2}}{{9}} = 2\]

Сократим числители:
\[\frac{{4y^2}}{{9}} = 2\]

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя:
\[4y^2 = 18\]

Теперь, возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
\[y^2 = \frac{{18}}{{4}}\]
\[y^2 = \frac{{9}}{{2}}\]

Возьмем корень из обеих сторон уравнения:
\[y = \pm \sqrt{\frac{{9}}{{2}}}\]

Таким образом, мы нашли два возможных значения для \(y\): \(y = \sqrt{\frac{{9}}{{2}}}\) и \(y = -\sqrt{\frac{{9}}{{2}}}\).

Теперь мы можем подставить найденные значения \(y\) в одно из исходных уравнений, например, в уравнение \(X = \frac{{4y}}{{3}}\), чтобы найти соответствующие значения \(X\).

Подставим \(y = \sqrt{\frac{{9}}{{2}}}\):
\[X = \frac{{4 \sqrt{\frac{{9}}{{2}}}}}{{3}} = \frac{{4 \cdot 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}}{3} = 4 \sqrt{\frac{{1}}{{2}}} = 4 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = 2\sqrt{2}\]

Подставим \(y = -\sqrt{\frac{{9}}{{2}}}\):
\[X = \frac{{4 (-\sqrt{\frac{{9}}{{2}}})}}{{3}} = \frac{{4 \cdot (-3) \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}}{3} = -4 \sqrt{\frac{{1}}{{2}}} = -4 \cdot \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = -2\sqrt{2}\]

Таким образом, решение системы уравнений - это две пары значений: \(X = 2\sqrt{2}\), \(y = \sqrt{\frac{{9}}{{2}}}\) и \(X = -2\sqrt{2}\), \(y = -\sqrt{\frac{{9}}{{2}}}\).

Надеюсь, это понятно! Если у вас возникнут вопросы, не стесняйтесь задавать.