Найдите расстояние от точки О до плоскости, если она удалена от вершин прямоугольного треугольника ABC с катетами

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать формулу расстояния от точки до плоскости. Формула имеет вид:

\[d = \frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

Где точка О имеет координаты (x, y, z), a плоскость имеет уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Наша задача - найти расстояние от точки O до плоскости, где плоскость перпендикулярна прямоугольному треугольнику ABC.

Сначала найдем коэффициенты A, B, C и D для уравнения плоскости. Поскольку плоскость перпендикулярна треугольнику ABC, вектор нормали к плоскости будет параллелен векторному произведению векторов AB и AC. Пусть вектор AB = [x1, y1, z1], а вектор AC = [x2, y2, z2]. Тогда вектор нормали будет равен:

\[N = [y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1]\]

Затем мы можем использовать координаты одной из вершин треугольника ABC, например, координаты точки A = [0, 0, 0]. Таким образом, мы получим уравнение плоскости:

\[Ax + By + Cz + D = N \cdot (x - x1, y - y1, z - z1)\]

\[= (y1z2 - y2z1)x + (z1x2 - z2x1)y + (x1y2 - x2y1)z\]

Теперь у нас есть все коэффициенты A, B, C и D для уравнения плоскости. Подставляем данные: x1 = 0, y1 = 0, z1 = 0, x2 = 12, y2 = 0, z2 = 5.

После подстановки, уравнение плоскости примет вид:

\[12y + 5z - \frac{{-\sqrt{194}}}{2} = 0\]

Теперь мы готовы использовать формулу расстояния от точки до плоскости. Для этого мы должны найти координаты точки О, даными в задаче. Поскольку расстояние ищется от точки О до плоскости, то x = 0, y = 0, а z равно (корень из 194 делённое на 2).

Теперь подставим все значения в формулу и найдем расстояние:

\[d = \frac{{|0 \cdot 12 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{{-\sqrt{194}}}{2} + D|}}{{\sqrt{{12^2 + 5^2 + 0^2}}}}\]

\[d = \frac{{|D|}}{{\sqrt{194}}}\]

Теперь мы замечаем, что расстояние зависит от коэффициента D, которого мы не знаем. Однако заметим, что полное уравнение плоскости имеет вид:

\[12y + 5z - \frac{{-\sqrt{194}}}{2} = 0\]

Мы можем сделать вывод, что D = \(\frac{{-\sqrt{194}}}{2}\), поскольку эта величина определяет расстояние от плоскости до начала координат (0, 0, 0).

Теперь, подставив значение D в формулу расстояния, получим:

\[d = \frac{{|D|}}{{\sqrt{194}}} = \frac{{\left|\frac{{-\sqrt{194}}}{2}\right|}}{{\sqrt{194}}}\]

\[d = \frac{{\sqrt{194}}}{{2 \cdot \sqrt{194}}} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, расстояние от точки О до плоскости равно \(\frac{1}{2}\) см.