Найдите расстояние между точкой пересечения общих внутренних касательных окружностей w1(; 7) и w2( ; 3) и точкой

Чтобы найти расстояние между точкой пересечения общих внутренних касательных окружностей \(w_1\) и \(w_2\) и точкой пересечения общих внешних касательных, нам понадобится использовать метод подобия треугольников.

Пусть \(A\) - точка пересечения внутренних касательных окружностей, а \(B\) - точка пересечения внешних касательных, как показано на рисунке ниже:


\[
\begin{array}{c}
\\
\\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
w_2 & w_1 \\
\hline
\end{array} \\
\\
\\
A \\
\downarrow \\
\\
B \\
\hline
\end{array}
\]

Обозначим центры окружностей \(w_1\) и \(w_2\) как \(O_1\) и \(O_2\), соответственно.

Для начала, построим радиусы, проведя от точки пересечения внутренних касательных (\(A\)) до центров окружностей (\(O_1\) и \(O_2\)), а также проведем радиусы, соединяющие точку пересечения внешних касательных (\(B\)) с центрами окружностей (\(O_1\) и \(O_2\)).

Полученный рисунок будет выглядеть следующим образом:


\[
\begin{array}{c}
\\
\\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
w_2 & w_1 \\
\hline
\end{array} \\
\\
\\
A \rightarrow O_2 \\
\downarrow \\
O_1 \\
\\
B \rightarrow O_2 \\
\downarrow \\
O_1 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь посмотрим на треугольники \(\triangle O_1AB\) и \(\triangle O_2AB\). Эти треугольники подобны по двум углам, так как угол \(AO_1B\) равен углу \(AO_2B\) (у нас есть перпендикулярные прямые, проведенные из точки пересечения общих внешних касательных к центрам окружностей). Третий угол в каждом из этих треугольников также равен 90 градусам, так как каждый из них является прямым углом, образованным касательными и радиусами окружностей.

Используя подобие треугольников, можем записать следующее отношение:

\[
\frac{AB}{AO_1} = \frac{AB}{AO_2}
\]

Отсюда можно сделать вывод, что:

\[
AO_1 = AO_2
\]

Таким образом, расстояние между точками пересечения внутренних касательных и точки пересечения внешних касательных равно расстоянию от центра одной из окружностей до точки пересечения внутренних касательных (в данном случае, это расстояние от \(O_1\) до \(A\) или от \(O_2\) до \(A\)).

Надеюсь, это объяснение поможет вам понять, как найти расстояние между указанными точками. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!