Найдите радиус окружности, определяющей треугольник, если один его угол равен 45°, а противолежащая ему сторона равна

Давайте решим данную задачу пошагово.

1) У нас есть треугольник с одним углом, равным 45°, и стороной, противолежащей этому углу, равной 42 см.

2) Для решения задачи нам понадобится использовать тригонометрический закон синусов.

Данный закон гласит:

\[\frac{a}{sin(A)} = \frac{b}{sin(B)} = \frac{c}{sin(C)}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - стороны треугольника, \(A\), \(B\), \(C\) - противолежащие им углы.

3) В нашем случае у нас есть сторона \(b\), равная 42 см, и угол \(A\), равный 45°.

4) Подставим известные значения в формулу тригонометрического закона синусов:

\[\frac{42}{sin(45^\circ)} = \frac{c}{sin(C)}\]

5) Мы знаем, что \(sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим это значение:

\[\frac{42}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{c}{sin(C)}\]

6) Упростим выражение:

\[\frac{42 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{c}{sin(C)}\]

\[\frac{84}{\sqrt{2}} = \frac{c}{sin(C)}\]

7) Применим обратную функцию синуса, чтобы найти значение угла \(C\). Для этого возьмем обратный синус обеих частей выражения:

\[sin^{-1}\left(\frac{84}{\sqrt{2}}\right) = sin^{-1}\left(\frac{c}{sin(C)}\right)\]

8) Вычислим значение выражения:

\[C \approx sin^{-1}\left(\frac{84}{\sqrt{2}}\right)\]

\[C \approx 61.92^\circ\]

Таким образом, мы нашли значение третьего угла \(C\) треугольника, которое равно примерно 61.92°.

9) Теперь, чтобы найти радиус окружности, которая описывает данный треугольник, мы можем использовать формулу:

\[R = \frac{a}{2 \cdot sin(A)}\]

где \(a\) - сторона треугольника, \(A\) - противолежащий угол.

10) Подставим известные значения в формулу:

\[R = \frac{42}{2 \cdot sin(45^\circ)}\]

11) Мы знаем, что \(sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим это значение:

\[R = \frac{42}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\]

12) Упростим выражение:

\[R = \frac{42}{\sqrt{2}}\]

\[R = \frac{42 \cdot \sqrt{2}}{2}\]

\[R = 21 \cdot \sqrt{2}\]

Таким образом, радиус окружности, определяющей данный треугольник, равен \(21 \cdot \sqrt{2}\) см.