Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника, если угол треугольника равен 60°, и противоположная сторона

Для начала нам понадобится использовать некоторую геометрическую теорию, чтобы решить эту задачу.

Окружность, описанная вокруг треугольника, называется описанной окружностью треугольника. Она проходит через вершины треугольника и имеет центр, который является пересечением перпендикуляров, проведенных посередине сторон треугольника.

В данной задаче треугольник имеет угол, равный 60°. Так как мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, то два других угла треугольника (назовем их α и β) равны (180° - 60°) / 2 = 60°.

Известно также, что противоположная сторона треугольника имеет длину 36 см. Пусть радиус описанной окружности равен r.

Теперь мы можем воспользоваться свойствами описанной окружности треугольника. Сумма центрального угла, соответствующего данной стороне, и двух углов треугольника, образованных этой стороной, равна 180°.

Так как мы находимся в прямоугольном треугольнике, то один из углов (α) равен 90°. Таким образом, центральный угол, соответствующий противоположной стороне, равен 180° - 90° - 60° = 30°.

Из геометрической теории известно, что центральный угол, соответствующий дуге окружности, равен удвоенному углу, образованному этой дугой на окружности. Таким образом, центральный угол 30° соответствует углу дуги на окружности 15°.

Теперь мы можем применить формулу для длины дуги окружности:

\[L = \frac{{2 \pi r \cdot \theta}}{{360°}}\]

где L - длина дуги, r - радиус окружности, а \(\theta\) - угол дуги, выраженный в градусах.

Подставляя известные значения, получаем:

\[36 см = \frac{{2 \pi r \cdot 15°}}{{360°}}\]

Чтобы упростить выражение, можно переписать градусы через радианы:

\[36 см = \frac{{2 \pi r \cdot \frac{{\pi}}{{12}}}}{{\frac{{\pi}}{{30}}}}\]

Переносим знаменатель в числитель:

\[36 см = \frac{{2 \pi r \cdot \frac{{30}}{{\pi}}}}{{12}}\]

Упрощаем выражение:

\[36 см = \frac{{5 r}}{{2}}\]

Теперь мы можем решить полученное уравнение относительно радиуса r:

\[r = \frac{{2 \cdot 36 см}}{{5}}\]
\[r = \frac{{72 см}}{{5}}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен \(\frac{{72}}{{5}}\) см.