Найдите производные следующих функций (208—211). 208. a) f (x) = x²+x; б) f (x) = 5x — 2; в) f (x) = x² + 3x — 1

208.
a) Для нахождения производной функции \(f(x) = x^2 + x\) воспользуемся правилом дифференцирования для суммы и правилом дифференцирования для степенной функции.
\[
f"(x) = (x^2)" + (x)"
\]
Продифференцируем каждое слагаемое:
\((x^2)" = 2x\)
\((x)" = 1\)
Теперь сложим полученные значения:
\(f"(x) = 2x + 1\)

б) Функция \(f(x) = 5x - 2\) представляет собой линейную функцию, у которой коэффициент при \(x\) равен 5. Для линейной функции производная равна коэффициенту при \(x\):
\(f"(x) = 5\)

в) Функция \(f(x) = x^2 + 3x - 1\) также является квадратичной функцией. Чтобы найти производную, продифференцируем каждый член функции:
\((x^2)" = 2x\)
\((3x)" = 3\)
\((-1)" = 0\)
Сложим полученные значения:
\(f"(x) = 2x + 3\)

г) Функция \(f(x) = x + \sqrt{x}\) содержит корень и является суммой двух слагаемых. Найдем производную каждого слагаемого:
\((x)" = 1\)
\((\sqrt{x})" = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) (используем правило дифференцирования для корня)
Теперь сложим полученные значения:
\(f"(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}\)


209.
a) Функция \(f(x) = x^3 (4 + 2x - x^2)\) представляет собой произведение двух функций. Для нахождения производной применим правило производной произведения функций:
\[
f"(x) = (x^3)" (4 + 2x - x^2) + x^3 (4 + 2x - x^2)"
\]
Продифференцируем каждое слагаемое:
\((x^3)" = 3x^2\)
\((4 + 2x - x^2)" = 2 - 2x\)
Теперь выполним умножение и сложение:
\(f"(x) = 3x^2 (4 + 2x - x^2) + x^3 (2 - 2x)\)

б) Функция \(f(x) = \sqrt{x} (2x^2 - x)\) также является произведением двух функций. Применим правило производной произведения функций:
\[
f"(x) = (\sqrt{x})" (2x^2 - x) + \sqrt{x} (2x^2 - x)"
\]
Продифференцируем каждое слагаемое:
\((\sqrt{x})" = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\((2x^2 - x)" = 4x - 1\)
Теперь выполним умножение и сложение:
\(f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(2x^2 - x) + \sqrt{x} (4x - 1)\)

в) Функция \(f(x) = x^2 (3x + x^3)\) представляет собой произведение двух функций. Применим правило производной произведения функций:
\[
f"(x) = (x^2)" (3x + x^3) + x^2 (3x + x^3)"
\]
Продифференцируем каждое слагаемое:
\((x^2)" = 2x\)
\((3x + x^3)" = 3 + 3x^2\)
Теперь выполним умножение и сложение:
\(f"(x) = 2x(3x + x^3) + x^2(3 + 3x^2)\)

г) Функция \(f(x) = (2x - 3)(1 - x^3)\) также является произведением двух функций. Применим правило производной произведения функций:
\[
f"(x) = (2x - 3)" (1 - x^3) + (2x - 3) (1 - x^3)"
\]
Продифференцируем каждое слагаемое:
\((2x - 3)" = 2\)
\((1 - x^3)" = -3x^2\)
Теперь выполним умножение и сложение:
\(f"(x) = 2(1 - x^3) + (2x - 3)(-3x^2)\)


210.
а) Для данной функции \(y = 1 + \frac{2x}{3} - 5x\) вычислим производную, продифференцировав каждое слагаемое:
\(\left(1\right)" = 0\),
\(\left(\frac{2x}{3}\right)" = \frac{2}{3}\),
\((-5x)"\ = -5\).
Теперь сложим полученные значения:
\(y" = 0 + \frac{2}{3} - 5 = \frac{2}{3} - 5\).

б) Для функции \(y = \frac{x^2}{2x - 1}\) применим правило дифференцирования частного:
\[
y" = \frac{(x^2)" \cdot (2x - 1) - x^2 \cdot (2x - 1)"}{(2x - 1)^2}
\]
Возьмем производную каждого слагаемого:
\((x^2)" = 2x\),
\((2x - 1)" = 2\).
Теперь подставим значения в формулу:
\(y" = \frac{2x \cdot (2x - 1) - x^2 \cdot 2}{(2x - 1)^2}\).

в) Для заданной функции \(y = \frac{x}{3} - \frac{4}{x^2} + \sqrt{x}\) вычислим производную, продифференцировав каждое слагаемое:
\(\left(\frac{x}{3}\right)" = \frac{1}{3}\),
\(\left(-\frac{4}{x^2}\right)" = \frac{8}{x^3}\),
\(\left(\sqrt{x}\right)" = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Теперь сложим полученные значения:
\(y" = \frac{1}{3} - \frac{8}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

г) Функция \(y = 3 - \frac{4x}{x^2}\) также требует продифференцирования каждого слагаемого:
\(\left(3\right)" = 0\),
\(\left(-\frac{4x}{x^2}\right)" = \frac{-4(x^2) - (-4x)(2x)}{(x^2)^2}\).
Теперь сложим полученные значения:
\(y" = 0 + \frac{-4(x^2) - (-4x)(2x)}{(x^2)^2}\).


211.
а) Для функции \(y = x^8 - 3x^4 - x + 5\) применим правило дифференцирования степенной функции к каждому слагаемому:
\(\left(x^8\right)" = 8x^7\),
\(\left(-3x^4\right)" = -12x^3\),
\(\left(-x\right)" = -1\).
Теперь сложим полученные значения:
\(y" = 8x^7 - 12x^3 - 1\).

б) Функция \(y = \frac{x}{3} - \frac{4}{x^2} + \sqrt{x}\) снова нуждается в продифференцировании каждого слагаемого:
\(\left(\frac{x}{3}\right)" = \frac{1}{3}\),
\(\left(-\frac{4}{x^2}\right)" = \frac{8}{x^3}\),
\(\left(\sqrt{x}\right)" = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Теперь сложим полученные значения:
\(y" = \frac{1}{3} - \frac{8}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\).

в) Для функции \(y = x^7 - 4x^5 + 2x - 1\) продифференцируем каждое слагаемое:
\(\left(x^7\right)" = 7x^6\),
\(\left(-4x^5\right)" = -20x^4\),
\(\left(2x\right)" = 2\).
Теперь сложим полученные значения:
\(y" = 7x^6 - 20x^4 + 2\).

г) Функция \(y = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{x^3} + 1\) требует продифференцирования каждого слагаемого:
\(\left(\frac{x^2}{2}\right)" = x\),
\(\left(\frac{3}{x^3}\right)" = \frac{-9}{x^4}\),
\(\left(1\right)" = 0\).
Теперь сложим полученные значения:
\(y" = x - \frac{9}{x^4}\).