Який знаменник утворює зростаюча геометрична прогресія, якщо її перший, другий і четвертий члени утворюють арифметичну

Задача на знаходження знаменника геометричної прогресії, що утворюється на основі арифметичної прогресії, може бути вирішена шляхом знаходження співвідношення між членами арифметичної прогресії та використанням властивостей геометричної прогресії.

Основне спостереження в даній задачі полягає в тому, що перший, другий і четвертий члени геометричної прогресії утворюють арифметичну прогресію. Це означає, що різниця між другим і першим членами є такою ж, як різниця між четвертим і другим членами.

Позначимо перший член геометричної прогресії як \(a\), а знаменник - як \(q\).

Тоді другий член прогресії буде \(ar\), де \(r\) - різниця арифметичної прогресії. Четвертий член буде \(ar^3\), де \(r\) також є різницею арифметичної прогресії.

Запишемо вирази для другого і четвертого членів геометричної прогресії:

\[ar = a + r\]
\[ar^3 = a + 3r\]

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь. Віднімемо перше рівняння від другого:

\[ar^3 - ar = (a + 3r) - (a + r)\]
\[ar^3 - ar = 3r - r\]
\[ar^3 - ar = 2r\]

Згрупуємо однакові терміни:

\[ar^3 - ar - 2r = 0\]

Факторизуємо вираз:

\[r(ar^2 - a - 2) = 0\]

Ми бачимо, що один зі скобок дорівнює нулю:

\[r = 0 \quad \text{або} \quad ar^2 - a - 2 = 0\]

Перший варіант \(r = 0\) не підходить, оскільки геометрична прогресія не може мати знаменник рівний нулю.

Тому ми продовжуємо вирішувати друге рівняння:

\[ar^2 - a - 2 = 0\]

Це квадратне рівняння. Ми можемо використовувати квадратне рівняння:

\[r = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Тут \(a = a\), \(b = -1\) і \(c = -2\):

\[r = \frac{{-(-1) \pm \sqrt{{(-1)^2 - 4a(-2)}}}}{{2a}}\]
\[r = \frac{{1 \pm \sqrt{{1 + 8a}}}}{{2a}}\]

Отже, можна знайти два значення знаменника геометричної прогресії:

\[r_1 = \frac{{1 + \sqrt{{1 + 8a}}}}{{2a}}\]
\[r_2 = \frac{{1 - \sqrt{{1 + 8a}}}}{{2a}}\]

Це є оберненою залежністю знаменника від першого члена. Щоб отримати ще більше деталей про знаменник геометричної прогресії, необхідно знати значення \(a\).