Найдите полное решение уравнения sin²x + sin²2x +sin²3x + sin²4x

Хорошо, давайте найдем полное решение данного уравнения. Уравнение sin²x + sin²2x + sin²3x + sin²4x является тригонометрическим уравнением. Чтобы решить его, следует использовать основные тригонометрические тождества.

Начнем с преобразования каждого квадрата синуса с помощью следующего тождества:

sin²x = (1 - cos2x) / 2

Применим это тождество к каждой сумме квадратов синусов:

(1 - cos2x) / 2 + (1 - cos2(2x)) / 2 + (1 - cos2(3x)) / 2 + (1 - cos2(4x)) / 2

После упрощения получим:

(4 - cos2x - cos2(2x) - cos2(3x) - cos2(4x)) / 2

Теперь мы можем решить уравнение, приравняв его к нулю:

(4 - cos2x - cos2(2x) - cos2(3x) - cos2(4x)) / 2 = 0

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы устранить дробь:

4 - cos2x - cos2(2x) - cos2(3x) - cos2(4x) = 0

Перенесем 4 на другую сторону уравнения:

-cos2x - cos2(2x) - cos2(3x) - cos2(4x) = -4

Далее, мы можем использовать следующую формулу:

cos2θ = 1 - 2sin²θ

Применим ее к каждому косинусу в уравнении:

-1 + 2sin²x - 1 + 2sin²(2x) - 1 + 2sin²(3x) - 1 + 2sin²(4x) = -4

После упрощения получим:

8 - 2sin²x - 2sin²(2x) - 2sin²(3x) - 2sin²(4x) = 0

Поделим обе части уравнения на 2:

4 - sin²x - sin²(2x) - sin²(3x) - sin²(4x) = 0

Теперь мы видим, что у нас получилась сумма квадратов синусов. Давайте введем новую переменную t, такую, что t = sinx. Заменим синусы и решим уравнение относительно t:

4 - t² - (2t)² - (3t)² - (4t)² = 0

4 - t² - 4t² - 9t² - 16t² = 0

После суммирования получим:

30t² + t² = 4

31t² = 4

Теперь разделим обе части уравнения на 31:

t² = 4/31

Возьмем квадратный корень от обоих частей:

t = ±√(4/31)

Так как мы ввели переменную t, связанную с sinx, теперь мы можем найти значения sinx, а затем найти значения x. Подставим t = ±√(4/31) в t = sinx:

sinx = ±√(4/31)

Для нахождения x возьмем обратный синус от обоих частей:

x = sin^(-1)(√(4/31)) или x = sin^(-1)(-√(4/31))

Таким образом, полное решение уравнения sin²x + sin²2x + sin²3x + sin²4x равно:

x = sin^(-1)(√(4/31))
или
x = sin^(-1)(-√(4/31))

Обратите внимание, что это лишь числовое решение, и его можно дополнить с помощью периодических свойств тригонометрических функций для получения полного множества решений.