Найдите площадь трапеции, где длина одной из боковых сторон равна 12, основания равны 14 и 22, и синус острого угла

Чтобы найти площадь трапеции, нам понадобятся основания и высота. Давайте начнем с нахождения высоты.

У нас есть, что длина одной из боковых сторон (назовем ее а) равна 12, а синус острого угла между этой стороной и одним из оснований равен одной третьей. Обозначим этот угол как \(\theta\). Тогда мы можем записать следующее соотношение:

\(\sin \theta = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)
\(\sin \theta = \frac{{a}}{{\text{{длина основания}}}}\)
\(\sin \theta = \frac{{12}}{{14}}\)

Теперь мы можем найти значение синуса угла. Подставим данное значение в уравнение и решим его относительно гипотенузы.

\(\sin \theta = \frac{{12}}{{14}}\)
\(\frac{{12}}{{14}} = \sin \theta\)

Далее, чтобы найти гипотенузу, применим обратный синус (арксинус) к обоим частям уравнения:

\(\arcsin \left(\frac{{12}}{{14}}\right) = \arcsin \left(\sin \theta\right)\)
\(\theta = \arcsin \left(\frac{{12}}{{14}}\)\)

Теперь мы знаем значение угла \(\theta\). Остается найти длину другого основания (назовем его b).

У нас уже есть значения для одного основания (14), угла \(\theta\) и длины одной из боковых сторон (12). Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину второго основания.

\(\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}}\)

Подставляем известные значения:

\(\frac{{12}}{{\sin \theta}} = \frac{{b}}{{\sin 90^\circ}}\)

Так как синус 90 градусов равен единице, упростим это уравнение:

\(\frac{{12}}{{\sin \theta}} = \frac{{b}}{{1}}\)
\(b = 12 \cdot \sin \theta\)

Теперь у нас есть значения обоих оснований (14 и b) и мы можем найти площадь трапеции.

Формула для площади трапеции:

\[S = \frac{{a + b}}{2} \cdot h\]

Подставляем известные значения:

\[S = \frac{{14 + b}}{2} \cdot h\]

\[S = \frac{{14 + 12 \cdot \sin \theta}}{2} \cdot h\]

Осталось найти высоту. Так как угол между стороной длиной 12 и основанием равен \(\theta\), высота трапеции будет равна \(h = 12 \cdot \cos \theta\).

Теперь мы можем найти площадь трапеции, подставив значение площади, оснований и высоты в нашу формулу:

\[S = \frac{{14 + 12 \cdot \sin \theta}}{2} \cdot 12 \cdot \cos \theta\]

После подстановки значений и упрощения выражения, мы получим ответ на задачу.

Помните, что важно всегда проверять свои вычисления и быть внимательными при работе с углами и тригонометрическими функциями.