Необходимо доказать, что треугольник с вершинами А(-1;1), Б(1;5) и С(5;-2) является прямоугольным и найти длину

Для начала, нам необходимо убедиться, что треугольник ABC является прямоугольным. Чтобы это сделать, мы можем использовать свойство перпендикулярности для определения угловых коэффициентов сторон треугольника.

Поскольку треугольник ABC имеет вершины А(-1;1), Б(1;5) и С(5;-2), мы можем найти угловые коэффициенты двух его сторон: AB и BC.

Коэффициент наклона прямой AB можно найти следующим образом:

\[m_{AB} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Подставляя значения координат вершин A(-1;1) и Б(1;5), получаем:

\[m_{AB} = \frac{{5 - 1}}{{1 - (-1)}} = \frac{4}{2} = 2\]

Теперь найдем коэффициент наклона прямой BC:

\[m_{BC} = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Подставляем значения координат вершин Б(1;5) и С(5;-2):

\[m_{BC} = \frac{{-2 - 5}}{{5 - 1}} = \frac{-7}{4}\]

Теперь, чтобы убедиться, что треугольник ABC является прямоугольным, нам необходимо проверить, равны ли произведения этих двух коэффициентов наклона -1:

\[m_{AB} \cdot m_{BC} = 2 \cdot \left(\frac{-7}{4}\right) = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}\]

Так как произведение коэффициентов наклона -1, то мы убеждаемся, что треугольник ABC прямоугольный.

Теперь давайте найдем длину медианы, проведенной к гипотенузе треугольника ABC. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину прямоугольного треугольника с серединой гипотенузы.

Для нахождения длины медианы, нам нужно знать длины сторон треугольника. Давайте найдем эти длины.

Длина стороны AB:

\[d_{AB} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Подставляя значения координат вершин A(-1;1) и Б(1;5), получаем:

\[d_{AB} = \sqrt{{(1 - (-1))^2 + (5 - 1)^2}} = \sqrt{{4^2 + 4^2}} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\]

Длина стороны BC:

\[d_{BC} = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Подставляя значения координат вершин Б(1;5) и С(5;-2), получаем:

\[d_{BC} = \sqrt{{(5 - 1)^2 + (-2 - 5)^2}} = \sqrt{{4^2 + (-7)^2}} = \sqrt{65}\]

Теперь мы можем найти длину медианы. Для прямоугольного треугольника, длина медианы, проведенной к гипотенузе, составляет половину длины гипотенузы.

Длина медианы:

\[d_{медианы} = \frac{{d_{BC}}}{2} = \frac{{\sqrt{65}}}{2}\]