Найдите площадь поверхности правильной треугольной призмы, если периметр её основания составляет 24 см, а длина

Для начала определим, что такое правильная треугольная призма. Правильная треугольная призма - это призма, у которой основание является правильным треугольником, а все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Периметр основания данной призмы равен 24 см. Так как основание - правильный треугольник, каждая сторона основания будет равна 24 см / 3 = 8 см.

Теперь длина бокового ребра призмы. Правильный треугольник имеет все стороны равными, поэтому длина любого бокового ребра будет равна 8 см.

Теперь давайте найдем высоту призмы. Высота призмы - это расстояние между основаниями призмы. Так как каждая боковая грань призмы является равнобедренным треугольником, ее высота будет равна корню из квадрата бокового ребра минус половина стороны основания.

Высота призмы = \(\sqrt{8^2 - (\dfrac{8}{2})^2}\)
Высота призмы = \(\sqrt{64 - 16}\)
Высота призмы = \(\sqrt{48}\)
Высота призмы = 4\(\sqrt{3}\) см (мы можем оставить ответ в таком виде, так как это наиболее точное выражение)

Теперь мы можем найти площадь поверхности призмы. Площадь поверхности призмы можно найти, сложив площади всех ее боковых граней и площадь двух оснований.

Площадь боковой грани призмы - это половина произведения периметра основания и высоты призмы.
Площадь боковой грани = \(\dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4\sqrt{3}\) см²
Площадь боковой грани = \(48\sqrt{3}\) см²

Так как призма имеет две боковые грани, площадь всех боковых граней будет равна \(2 \cdot 48\sqrt{3} = 96\sqrt{3}\) см².

Площадь основания призмы - это площадь правильного треугольника с длиной стороны 8 см.
Площадь основания = \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2\) см²
Площадь основания = \(4\sqrt{3}\) см²

Теперь мы можем найти площадь поверхности призмы, сложив площади боковых граней и площадь основания.
Площадь поверхности призмы = \(96\sqrt{3} + 2 \cdot 4\sqrt{3}\) см²
Площадь поверхности призмы = \(104\sqrt{3}\) см²

Таким образом, площадь поверхности данной правильной треугольной призмы составляет \(104\sqrt{3}\) см².