Найдите площадь полной поверхности и объем правильной треугольной призмы с периметром основания равным 15 см и заданной

Конечно! Давайте найдем площадь полной поверхности и объем правильной треугольной призмы с заданным периметром основания и высотой.

Пусть a - длина стороны основания треугольной призмы. Поскольку основание треугольной призмы - правильный треугольник, все его стороны равны между собой. Таким образом, каждая сторона основания равна \( \frac{{15}}{{3}} = 5 \) см.

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади трех сторон основания и площади трех боковых поверхностей. Площадь стороны основания можно вычислить по формуле площади треугольника:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot a^2 \]

В нашем случае:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot 5^2 = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot 25 = \frac{{25\sqrt{3}}}{4} \approx 10.82 \, \text{кв. см} \]

Площадь одной боковой поверхности равна площади прямоугольного треугольника, образованного стороной основания и высотой призмы. По формуле площади прямоугольного треугольника:

\[ S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{призмы}} \]

где \( h_{\text{призмы}} \) - высота призмы. В нашем случае:

\[ S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h_{\text{призмы}} \]

Чтобы найти высоту призмы (\( h_{\text{призмы}} \)), воспользуемся теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике, образованном стороной основания и половиной высоты призмы, гипотенуза равна высоте призмы:

\[ h_{\text{призмы}} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} \]

В нашем случае:

\[ h_{\text{призмы}} = \sqrt{5^2 - (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{25 - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{100 - 25}{4}} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \]

Теперь, когда у нас есть высота призмы, можем найти площадь боковой поверхности:

\[ S_{\text{боковой}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4} \approx 10.82 \, \text{кв. см} \]

Площадь полной поверхности призмы будет:

\[ S_{\text{полная}} = 3 \cdot S_{\text{основания}} + S_{\text{боковой}} \]

\[ S_{\text{полная}} = 3 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{25\sqrt{3}}{4} \]

\[ S_{\text{полная}} = \frac{100\sqrt{3}}{4} + \frac{25\sqrt{3}}{4} = \frac{125\sqrt{3}}{4} \approx 27.23 \, \text{кв. см} \]

Теперь рассмотрим объем призмы. Объем правильной треугольной призмы можно вычислить по формуле:

\[ V = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot h_{\text{призмы}} \]

В нашем случае:

\[ V = \frac{1}{4} \cdot 5^2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{125\sqrt{3}}{8} \approx 9.13 \, \text{куб. см} \]

Таким образом, площадь полной поверхности этой призмы равна около 27.23 квадратных сантиметров, а объем призмы - около 9.13 кубических сантиметров.