а) Какое скалярное произведение имеют векторы АМ и АВ в правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной

Давайте решим задачу по порядку.

а) Скалярное произведение векторов АМ и АВ можно найти, умножив их длины на косинус угла между ними. В данной задаче длина вектора АМ равна половине длины бокового ребра, так как М является серединой ребра ВС. Также известно, что угол между смежными боковыми гранями пирамиды равен \(arccos \frac{1}{18}\). Поэтому скалярное произведение векторов АМ и АВ можно найти следующим образом:

\[ АМ \cdot АВ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \cos(arccos \frac{1}{18}) \]

Сокращая выражение, получаем:

\[ АМ \cdot АВ = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{18} \]

Таким образом, скалярное произведение векторов АМ и АВ равно \(\frac{1}{36}\).

б) Для нахождения длины вектора АК воспользуемся теоремой Пифагора. Длина вектора АК можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника АКМ, где АМ - половина длины бокового ребра, а МК - высота пирамиды.

Зная, что длина бокового ребра равна 1, можно найти половину длины бокового ребра:

\[ АМ = \frac{1}{2} \]

Также нам известно, что угол между смежными боковыми гранями пирамиды равен \(arccos \frac{1}{18}\). этот угол является прямым углом в прямоугольном треугольнике АКМ (поскольку смежные грани пирамиды пересекаются под прямым углом), поэтому синус этого угла будет соответствовать отношению перпендикуляра МК к гипотенузе АК:

\[ \sin(arccos \frac{1}{18}) = \frac{МК}{АК} \]

\[ \frac{1}{18} = \frac{МК}{АК} \]

Таким образом, МК равно \(\frac{1}{18}\) и АК равно:

\[ АК = 18 \cdot МК = 18 \cdot \frac{1}{18} = 1 \]

Таким образом, длина вектора АК в данной пирамиде равна 1.

Это и есть ответы на задачу. Скалярное произведение векторов АМ и АВ равно \(\frac{1}{36}\), а длина вектора АК равна 1.