Найдите первообразную функции у=3/x^2 +x^2-x такую, что f(1)=3

Хорошо, чтобы найти первообразную функции \(f(x)\) для данного выражения \(y = \frac{3}{x^2} + x^2 - x\) и удовлетворяющую условию \(f(1) = 3\), мы будем последовательно решать данную задачу.

Шаг 1: Найдите первообразную функции для каждого из слагаемых выражения \(y = \frac{3}{x^2} + x^2 - x\).

- Рассмотрим первое слагаемое \(\frac{3}{x^2}\):
Чтобы найти первообразную для \(\frac{3}{x^2}\), мы можем использовать знание о том, что производная для \(\frac{1}{x}\) равна \(-\frac{1}{x^2}\).
Значит, первообразная для \(\frac{3}{x^2}\) будет равна \(-3 \cdot \frac{1}{x}\), то есть \(-\frac{3}{x}\).

- Рассмотрим второе слагаемое \(x^2\):
Здесь мы знаем, что производная для \(\frac{1}{3}x^3\) равна \(x^2\). Значит, первообразная для \(x^2\) будет равна \(\frac{1}{3}x^3\).

- Рассмотрим третье слагаемое \(-x\):
Мы знаем, что производная для \(-\frac{1}{2}x^2\) равна \(-x\). Значит, первообразная для \(-x\) будет равна \(-\frac{1}{2}x^2\).

Шаг 2: Суммируем найденные первообразные для каждого слагаемого:
Теперь, чтобы найти первообразную функции \(f(x) = \frac{3}{x^2} + x^2 - x\), мы просто складываем найденные первообразные:
\[f(x) = -\frac{3}{x} + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2\]

Шаг 3: Находим константу с использованием условия \(f(1) = 3\):
Мы знаем, что \(f(1)\) - это значение функции \(f(x)\) в точке \(x = 1\). Подставляя \(x = 1\) в уравнение первообразной, мы получаем:
\[f(1) = -\frac{3}{1} + \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2\]
\[= -3 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{19}{6}\]

Мы должны получить \(f(1) = 3\), поэтому мы можем найти значение константы \(C\) путем решения следующего уравнения:
\(-\frac{19}{6} + C = 3\)

Решая это уравнение, мы находим:
\[C = 3 + \frac{19}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}\]

Шаг 4: Окончательный ответ:
Таким образом, первообразная функции \(y = \frac{3}{x^2} + x^2 - x\) с условием \(f(1) = 3\) равна:
\[f(x) = -\frac{3}{x} + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{9}{2}\]