Найдите периметр и площадь правильного треугольника, который вписан в окружность с периметром 21 см. Какова длина

Давайте начнем с первой задачи. У нас есть правильный треугольник, который вписан в окружность. Периметр этого треугольника составляет 21 см. Мы хотим найти длину стороны и площадь треугольника, а также радиусы описанной и вписанной окружностей.

Правильный треугольник имеет все стороны одинаковой длины, а также все углы равны 60 градусов. Это также означает, что треугольник можно разделить на три равносторонних треугольника.

Давайте начнем с нахождения длины стороны треугольника. Поскольку у треугольника три равные стороны и их сумма составляет 21 см, каждая сторона треугольника будет иметь длину 21 см / 3 = 7 см.

Теперь перейдем к нахождению площади треугольника. У нас уже есть длина стороны, поэтому мы можем использовать формулу для площади правильного треугольника: \(S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставив значения, мы получаем \(S = \frac{{7^2 \sqrt{3}}}{4} \approx 21.22\) квадратных сантиметра.

Теперь перейдем к нахождению радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника.

Радиус описанной окружности образует прямоугольный треугольник с радиусом вписанной окружности и длиной стороны треугольника. Кроме того, радиус описанной окружности является гипотенузой этого треугольника, а радиус вписанной окружности - его высотой.

Используя свойства равностороннего треугольника, мы можем определить соотношения между радиусами описанной и вписанной окружностей и длиной стороны: \(R = 2r\), где \(R\) - радиус описанной окружности, а \(r\) - радиус вписанной окружности.

Теперь у нас есть все необходимые сведения, чтобы решить эту задачу. Радиус вписанной окружности будет составлять половину длины стороны треугольника, то есть \(r = \frac{7}{2} = 3.5\) см.

Используя соотношение между радиусами описанной и вписанной окружностей, мы можем найти радиус описанной окружности: \(R = 2 \times 3.5 = 7\) см.

Таким образом, мы нашли длину стороны треугольника (7 см), площадь треугольника (примерно 21.22 квадратных см), а также радиусы описанной (7 см) и вписанной (3.5 см) окружностей треугольника.

Теперь перейдем ко второй задаче. У нас есть окружность радиусом 8 см, вокруг которой построен квадрат. Мы хотим найти периметр и площадь этого квадрата.

Периметр квадрата просто равен сумме длин всех его сторон. В нашем случае каждая сторона квадрата будет иметь длину, равную двукратному радиусу окружности, то есть 2 * 8 = 16 см. Так как у нас четыре стороны, периметр квадрата составляет 16 см + 16 см + 16 см + 16 см = 64 см.

Чтобы найти площадь квадрата, мы можем воспользоваться формулой для площади квадрата: \(S = a^2\), где \(a\) - длина стороны квадрата. В нашем случае это будет \(S = 16^2 = 256\) квадратных сантиметров.

Таким образом, периметр квадрата равен 64 см, а площадь квадрата равна 256 квадратным сантиметрам.

Надеюсь, что этот подробный ответ был понятен и полезен для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.