Найдите отношение ускорений a1/a2, которые шарики приобретают во время столкновения. Учтите, что радиус первого шарика

Чтобы найти отношение ускорений $a_1/a_2$ шариков во время столкновения, мы можем воспользоваться законом сохранения импульса. Согласно этому закону, сумма начальных импульсов должна равняться сумме конечных импульсов.

Импульс шарика можно выразить как произведение его массы на его скорость: $p=mv$, где $m$ - масса шарика, $v$ - его скорость.

В данной задаче мы имеем два шарика. Первый шарик имеет радиус $r_1$ и массу $m_1$, а второй шарик имеет радиус $r_2$ и массу $m_2$. Из условия задачи известно, что радиус первого шарика в 4 раза меньше радиуса второго, то есть $r_1=\frac{1}{4}{r}_2$.

Для простоты рассмотрим случай, когда оба шарика движутся в одномерном случае. После столкновения шарики будут двигаться с новыми скоростями $v_1"$ и $v_2"$. Также, известно, что шарики движутся в противоположных направлениях перед столкновением.

Согласно закону сохранения импульса, сумма начальных импульсов равна сумме конечных импульсов:

$$m_1{v}_1+m_2{v}_2=m_1{v}_1"+m_2{v}_2"$$

Зная, что масса $m$ связана с радиусом $r$ шарика через формулу $m=\frac{4}{3}\pi r^3\rho$, где $\rho$ - плотность материала шарика, можно выразить начальные и конечные скорости через радиусы шариков.

Так как шарики движутся в противоположных направлениях, то начальная скорость второго шарика равна $-v_2$. После столкновения скорости шариков меняются, но их направления не меняются. Поэтому величина новых скоростей сохраняет свои знаки.

Обозначим скорости до столкновения как $v_1$ и $v_2$ и скорости после столкновения как $v_1"$ и $v_2"$. Также обозначим массы шариков как $m_1$ и $m_2$.

Теперь, используем формулу для импульсов шариков:

$$m_1{v}_1+m_2(-v_2)=m_1{v}_1"+m_2{v}_2"$$

Разделим обе части уравнения на $m_2$ (можно делить на любую массу, так как $m_1$ и $m_2$ не равны нулю):

$$m_1\left(\frac{v_1}{m_2}\right)-v_2=m_1\left(\frac{v_1"}{m_2}\right)+v_2"$$

Подставим известное соотношение между радиусами шариков $r_1=\frac{1}{4}{r}_2$ в формулу для массы шарика $m=\frac{4}{3}\pi r^3\rho$ и приведем выражение к виду:

$$\frac{4}{3}\pi r_1^3\rho \left(\frac{v_1}{\frac{4}{3}\pi r_2^3\rho }\right)-v_2=\frac{4}{3}\pi r_1^3\rho \left(\frac{v_1"}{\frac{4}{3}\pi r_2^3\rho }\right)+v_2"$$

Сократим общие множители и упростим выражение:

$$\frac{v_1}{r_2^3}-v_2=\frac{v_1"}{r_2^3}+v_2"$$

Теперь введем новую переменную $\lambda =\frac{r_1}{r_2}$, представляющую отношение радиусов шариков. Заметим, что $r_1=\frac{1}{4}{r}_2$, следовательно $\lambda =\frac{1}{4}$.

Подставим это в выражение:

$$\frac{v_1}{(4\lambda r_2{)}^3}-v_2=\frac{v_1"}{(4\lambda r_2{)}^3}+v_2"$$

$$\frac{v_1}{64{\lambda }^3{r}_2^3}-v_2=\frac{v_1"}{64{\lambda }^3{r}_2^3}+v_2"$$

Мы также можем выразить $r_1$ через $\lambda$: $r_1=\lambda r_2$. Подставим это в выражение:

$$\frac{v_1}{64{\lambda }^3{r}_2^3}-v_2=\frac{v_1"}{64{\lambda }^3{r}_2^3}+v_2"$$

$$\frac{v_1}{64{\lambda }^3}-v_2=\frac{v_1"}{64{\lambda }^3}+v_2"$$

Теперь сгруппируем одинаковые члены:

$$\frac{v_1}{64{\lambda }^3}-\frac{v_1"}{64{\lambda }^3}=v_2"+v_2$$

$$\frac{v_1-v_1"}{64{\lambda }^3}=v_2"+v_2$$

Отсюда можем выразить отношение ускорений $a_1/a_2$ через отношение скоростей $v_1/v_2$:

$$\frac{a_1}{a_2}=-\frac{v_1-v_1"}{v_2"+v_2}$$

Таким образом, искомое отношение ускорений равно $-\frac{v_1-v_1"}{v_2"+v_2}$.

Применим эту формулу для конкретных значений скоростей. Округлим ответ до сотых.