Найдите острый угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, если его объем равен 16 и боковое ребро

Чтобы найти острый угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, сначала нам потребуется найти длины диагоналей основания.

Дано, что объем параллелепипеда равен 16. Объем прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:
\[V = a \cdot b \cdot h\]
где \(a\), \(b\) и \(h\) - длины сторон параллелепипеда. Обратим внимание, что \(a\) и \(b\) - это длины сторон основания, а \(h\) - высота.

Так как задано, что диагональное сечение параллелепипеда является квадратом, то диагонали основания будут равны длине стороны основания. Обозначим эту длину как \(d\).

Таким образом, можно записать систему уравнений:
\[\begin{cases} abh = 16 \\ a^2 + b^2 = d^2 \end{cases}\]

Решим первое уравнение относительно \(h\):
\[h = \frac{16}{ab}\]

Подставим это выражение во второе уравнение:
\[a^2 + b^2 = d^2\]
\[a^2 + b^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2\]
\[a^2 + b^2 = \frac{d^2}{4}\]

Теперь заметим, что мы можем выразить \(a\) через \(b\) или наоборот, используя это уравнение.

Возьмем, например, \(b\) и выразим его через \(a\):
\[b = \sqrt{\frac{d^2}{4} - a^2}\]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
\[a \cdot \sqrt{\frac{d^2}{4} - a^2} \cdot \frac{16}{a \cdot \sqrt{\frac{d^2}{4} - a^2}} = 16\]

Упростим выражение:
\[16 = 16\]

Видим, что равенство выполняется для любых значений \(a\) и \(b\). Это свидетельствует о том, что острый угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда равен 90 градусов.

Таким образом, острый угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда, при условии что его объем равен 16 и боковое ребро равно 4, равен 90 градусов.