Найдите НОД (А, В) с использованием алгоритма Евклида, где A=x³-6x²+11x-12 и B=x²-2x+3

Хорошо, давайте решим эту задачу, используя алгоритм Евклида для поиска наибольшего общего делителя (НОД) двух полиномов.

У нас есть два полинома: A = \(x^3-6x^2+11x-12\) и B = \(x^2-2x+3\).

Шаг 1: Выразим A через B с помощью деления полиномов.

Делим полином A на B.
\[
(x^3-6x^2+11x-12) = Q(x) \cdot (x^2-2x+3) + R(x)
\]

Где Q(x) - частное, R(x) - остаток. Наша цель - найти НОД(B, R(x)), пока остаток R(x) не станет равным нулю.

Проведя деление, мы получаем:
\[
(x^3-6x^2+11x-12) = (x+4) \cdot (x^2-2x+3) - 24
\]

Шаг 2: Проверяем остаток.

Остаток R(x) равен -24.

Если остаток не равен нулю, мы продолжаем делить B на R(x), и так далее, пока не получим нулевой остаток.

Шаг 3: Продолжаем делить B на R(x).

Так как R(x) равен -24, делим B на -24.

\[
(x^2-2x+3) = -24 \cdot \left( \frac{1}{24} \right) \cdot (x+4) + 51
\]

Здесь \(\left( \frac{1}{24} \right)\) - это обратное значение -24, то есть \(\frac{1}{-24}\).

Шаг 4: Проверяем новый остаток.

Новый остаток R(x) равен 51.

Поскольку остаток не равен нулю, мы продолжаем делить B на R(x) так же, как в предыдущих шагах.

Шаг 5: Продолжаем делить B на R(x).

Делим B на 51.

\[
(x+4) = 51 \cdot \left( \frac{1}{51} \right) \cdot R(x)
\]

Здесь \(\left( \frac{1}{51} \right)\) - это обратное значение 51, то есть \(\frac{1}{51}\).

Шаг 6: Окончательный результат.

Теперь R(x) равен 1.

Поскольку остаток R(x) равен 1, НОД(A, B) равен 1.

Итак, мы нашли НОД для данных полиномов A и B, используя алгоритм Евклида. В данном случае, НОД(A, B) равен 1.