Найдите меру угла BDK, если известно, что высоты АК и BD треугольника ABC, где ABC - остроугольный треугольник

Чтобы найти меру угла BDK, нам понадобится использовать свойства пересекающихся высот в треугольнике ABC.

Первое свойство, которое мы можем использовать, заключается в том, что пересекающиеся высоты в треугольнике делят его на шесть маленьких треугольников, в частности, на треугольники AFC и CFB.

Затем мы можем использовать второе свойство, которое гласит, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является средней пропорциональной между отрезками гипотенузы, на которые она делит ее.

Давайте рассмотрим прямоугольный треугольник AFC. Заметим, что высота АК является средней пропорциональной между отрезками AK и CK. Подобным образом, в прямоугольном треугольнике CFB высота BD будет средней пропорциональной между отрезками BD и CD.

Теперь давайте возвращаемся к нашей задаче. У нас есть треугольник ABC, в котором высоты АК и BD пересекаются в точке F. Известно, что угол CFK равен 55 градусов.

Используя свойство правильности пропорциональности в прямоугольном треугольнике AFC, мы можем записать следующее:

\[\frac{{AK}}{{CK}} = \frac{{AK}}{{AF}} = \frac{{CF}}{{FC}}\]

Аналогичным образом, применив свойство в треугольнике CFB, получим:

\[\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{BD}}{{CF}} = \frac{{CK}}{{FC}}\]

Мы знаем, что угол CFK равен 55 градусов, поэтому угол АКС, где С - это точка пересечения высот, будет составлять (90 - 55) = 35 градусов.

Теперь давайте рассмотрим треугольник АCK. Используя сумму углов треугольника АКС, мы можем записать:

\[35^\circ + \angle AСK + 90^\circ = 180^\circ\]

Таким образом,

\[\angle AСK = 180^\circ - 35^\circ - 90^\circ = 55^\circ\]

Заметим, что угол BDK является вертикальным углом к углу АKC. Поэтому мера угла BDK равна 55 градусов.

Итак, мера угла BDK равна 55 градусов.