Найдите косинус угла максимального отклонения нитяного маятника с грузом массой 1 кг от положения равновесия, если

Для решения данной задачи будем использовать законы сохранения энергии механической системы. Полная механическая энергия \(E\) маятника состоит из потенциальной энергии \(U\) и кинетической энергии \(T\):

\[E = U + T\]

Потенциальная энергия маятника зависит от его отклонения от положения равновесия и вычисляется следующим образом:

\[U = m \cdot g \cdot h\]

где \(m\) - масса груза, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота отклонения.

Кинетическая энергия маятника связана с его скоростью \(v\) и массой \(m\) следующим образом:

\[T = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Период колебаний маятника зависит от длины \(L\) маятника и ускорения свободного падения \(g\) следующим образом:

\[T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{g}}\]

Таким образом, мы можем выразить скорость \(v\) маятника в терминах периода колебаний \(T\) и длины \(L\):

\[v = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{T}}\]

Подставим эти выражения для потенциальной и кинетической энергии в уравнение сохранения энергии:

\[E = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Так как полная энергия колебаний маятника составляет 0,5 Джоулей, можем записать:

\[0,5 = m \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Для дальнейших выкладок удобно выразить высоту отклонения \(h\) и скорость \(v\) через длину маятника \(L\):

\[h = L \cdot (1 - \cos \theta)\]

\[v = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{T}}\]

где \(\theta\) - угол отклонения маятника.

Подставим эти выражения в уравнение и получим:

\[0,5 = m \cdot g \cdot L \cdot (1 - \cos \theta) + \frac{1}{2} \cdot m \cdot \left(2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{T}}\right)^2\]

Для удобства дальнейших вычислений обратим внимание, что \(m\) можно сократить:

\[0,5 = g \cdot L \cdot (1 - \cos \theta) + \frac{1}{2} \cdot \left(2\pi \cdot \sqrt{\frac{L}{T}}\right)^2\]

Теперь выразим \(\cos \theta\) через известные величины:

\[0,5 = g \cdot L - g \cdot L \cdot \cos \theta + 2\pi^2 \cdot \frac{L}{T}\]

\[g \cdot L \cdot \cos \theta = g \cdot L + 2\pi^2 \cdot \frac{L}{T} - 0,5\]

\[\cos \theta = \frac{ g \cdot L + 2\pi^2 \cdot \frac{L}{T} - 0,5}{g \cdot L}\]

Таким образом, косинус угла максимального отклонения \(\theta\) нитяного маятника равен:

\[\cos \theta = \frac{ g \cdot L + 2\pi^2 \cdot \frac{L}{T} - 0,5}{g \cdot L}\]

Теперь осталось только внести известные значения \(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\), \(L = ?\) и \(T = 2 \, \text{сек}\), чтобы получить окончательный ответ. Вам нужно предоставить значения этих параметров, чтобы я мог выполнить дальнейшие вычисления.