Найдите координаты точки M на оси X таким образом, чтобы треугольник ABM был прямоугольным с гипотенузой AM. Вершины

Чтобы найти координаты точки M, при которых треугольник ABM будет прямоугольным с гипотенузой AM, мы можем воспользоваться несколькими свойствами треугольников и векторной алгеброй.

1. Сначала найдем вектор AB. Для этого вычтем координаты точки A из координат точки B:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix}2-3 \\ 1-(-1) \\ -4-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ -6\end{bmatrix}\)

2. Затем найдем вектор AM. Для этого вычтем координаты точки A из координат точки M:
\(\overrightarrow{AM} = \begin{bmatrix}x-3 \\ y-(-1) \\ z-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x-3 \\ y+1 \\ z-2\end{bmatrix}\)

3. Так как треугольник ABM прямоугольный, то векторы AB и AM должны быть перпендикулярными. Значит, их скалярное произведение равно 0:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = 0\)

Выполним скалярное произведение:
\(\begin{bmatrix}-1 \\ 2 \\ -6\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x-3 \\ y+1 \\ z-2\end{bmatrix} = -1 \cdot (x-3) + 2 \cdot (y+1) + (-6) \cdot (z-2) = 0\)

Упростим выражение:
\(-x+3+2y+2-6z+12 = 0\)
\(-x+2y-6z+17 = 0\)

4. Теперь у нас есть уравнение, связывающее координаты точки M. Для нахождения конкретных значений координат точки M, мы можем использовать любые две координаты и принять третью координату как параметр.

Допустим, мы возьмем \(x = 0\) и \(y = 0\), то есть точку M с координатами (0; 0; z). Подставим это в уравнение:
\(-0+2 \cdot 0-6z+17 = 0\)

Отсюда получаем:
\(-6z+17 = 0\)
\(-6z = -17\)
\(z = \frac{-17}{-6} = \frac{17}{6}\)

Таким образом, координаты точки M равны (0; 0; \(\frac{17}{6}\)).

Теперь треугольник ABM будет прямоугольным с гипотенузой AM, если точка M будет иметь координаты (0; 0; \(\frac{17}{6}\)).