1) Какова высота цилиндра, если радиус его основания составляет 6 см, а диагональ его осевого сечения образует угол

Конечно, рассмотрим эти задачи по очереди.

1) Чтобы найти высоту цилиндра, необходимо использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного радиусом основания, диагональю осевого сечения и высотой цилиндра.

Давайте обозначим высоту цилиндра как \(h\). Тогда радиус основания составляет 6 см, а диагональ осевого сечения образует угол 60 градусов.

Согласно теореме Пифагора, справедливо уравнение:
\[\sqrt{6^2 + h^2} = d\], где \(d\) - диагональ осевого сечения.

Мы знаем, что диагональ образует угол 60 градусов с плоскостью основания, поэтому можем использовать тригонометрические соотношения:

\[\sin(60^\circ) = \frac{h}{d}\]

Так как \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), мы можем записать:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{d}\]

Теперь можем воспользоваться уравнением из теоремы Пифагора:

\[\sqrt{6^2 + h^2} = d\]

Подставим значение \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) вместо \(\frac{h}{d}\):

\[\sqrt{6^2 + h^2} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Упростим выражение справа:

\[\sqrt{6^2 + h^2} = 3\sqrt{3}\]

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[6^2 + h^2 = (3\sqrt{3})^2\]

\[36 + h^2 = 9 \cdot 3\]

\[36 + h^2 = 27\]

\[h^2 = 27 - 36\]

\[h^2 = -9\]

Мы получили отрицательное значение для \(h^2\), что не имеет смысла для высоты цилиндра. Это означает, что нет реального решения для данной задачи.

2) Чтобы найти площадь осевого сечения цилиндра, мы можем воспользоваться формулой для площади круга.

Площадь круга с радиусом \(r\) равна \(S = \pi r^2\).

В данной задаче радиус основания цилиндра равен 6 см. Так как осевое сечение имеет форму круга, то его площадь равна \(S = \pi \cdot 6^2\).

Упростим выражение:

\[S = \pi \cdot 36\]

Таким образом, площадь осевого сечения цилиндра равна \(36\pi\) квадратных сантиметров.