Найдите координаты центра окружности, если известно, что диаметр окружности Ab проходит через точки a (3; 8) и

Для начала, нам нужно найти координаты центра окружности. Мы знаем, что диаметр окружности \(AB\) проходит через точки \(A(3, 8)\) и \(B(-5, 2)\).

Чтобы найти координаты центра окружности, мы можем воспользоваться следующим фактом: центр окружности является серединой отрезка, соединяющего любые две точки на окружности.

Таким образом, мы можем используя формулу для нахождения середины отрезка, найдем координаты центра окружности \(O\).

Для нахождения абсциссы центра окружности, мы можем использовать формулу:

\[x_o = \frac{{x_a + x_b}}{2}\]

Подставляя значения \(x_a = 3\) и \(x_b = -5\) в формулу, мы получаем:

\[x_o = \frac{{3 + (-5)}}{2} = -1\]

Теперь перейдем к ординате центра окружности. Для нахождения ординаты \(y_o\) центра окружности мы можем использовать ту же формулу:

\[y_o = \frac{{y_a + y_b}}{2}\]

Подставляя значения \(y_a = 8\) и \(y_b = 2\) в формулу, мы получаем:

\[y_o = \frac{{8 + 2}}{2} = 5\]

Таким образом, координаты центра окружности \(O\) равны \((-1, 5)\).

Чтобы записать уравнение окружности, нам также понадобится радиус окружности \(r\). Радиус окружности равен половине диаметра, поэтому мы можем воспользоваться формулой:

\[r = \frac{{AB}}{2}\]

Где \(AB\) - длина отрезка, соединяющего точки \(A\) и \(B\). Мы можем вычислить длину \(AB\) с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости:

\[AB = \sqrt{{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2}}\]

Подставляя значения \(x_a = 3\), \(x_b = -5\), \(y_a = 8\) и \(y_b = 2\) в формулу, мы получаем:

\[AB = \sqrt{{(-5 - 3)^2 + (2 - 8)^2}} = \sqrt{{(-8)^2 + (-6)^2}} = \sqrt{{64 + 36}} = \sqrt{{100}} = 10\]

Теперь мы можем найти радиус окружности:

\[r = \frac{{AB}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5\]

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке \(O(-1, 5)\) и радиусом \(r = 5\) можно записать в виде:

\((x - x_o)^2 + (y - y_o)^2 = r^2\)

Подставляя значения \(x_o = -1\), \(y_o = 5\) и \(r = 5\) в уравнение, мы получаем итоговое уравнение окружности:

\((x - (-1))^2 + (y - 5)^2 = 5^2\)

\((x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25\)

Таким образом, указанное уравнение описывает данную окружность.