Каково расстояние от точки А(5; -2; 1) до плоскости, заданной точками В(-3

;4;6), С(2;-1;3) и D(0;0;5)?

Чтобы определить расстояние от точки до плоскости, мы можем воспользоваться формулой, которая звучит так:

\[ d = \frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}} \]

где A, B, C и D - это коэффициенты плоскости, а x, y, z - координаты точки.

Давайте найдем эти коэффициенты для заданной плоскости. Для этого нам понадобятся векторы AB и AC.

Вектор AB можно получить, вычтя из координат точки B координаты точки A:

\[ \vec{AB} = \begin{bmatrix} -3-5 \\ 4-(-2) \\ 6-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8 \\ 6 \\ 5 \end{bmatrix} \]

Аналогично, вектор AC получается вычитанием координат точки A из координат точки C:

\[ \vec{AC} = \begin{bmatrix} 2-5 \\ -1-(-2) \\ 3-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

Теперь, чтобы найти нормальный вектор плоскости, мы можем взять векторное произведение векторов AB и AC:

\[ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \]

Найдем его:

\[ \vec{n} = \begin{bmatrix} -8 \\ 6 \\ 5 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

Для вычисления векторного произведения, используем следующее правило:

\[ \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} d \\ e \\ f \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} bf-ce \\ cd-af \\ ae-bd \end{bmatrix} \]

Применяя это правило, получим:

\[ \vec{n} = \begin{bmatrix} (6 \cdot 2)-(5 \cdot 1) \\ (5 \cdot (-3))-((-8) \cdot 2) \\ ((-8) \cdot 1)-(6 \cdot (-3)) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ -19 \\ 14 \end{bmatrix} \]

Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости, и мы можем записать уравнение плоскости:

\[ 7x - 19y + 14z + D = 0 \]

Найдем значение D, подставив в эту формулу координаты одной из точек плоскости. Например, возьмем точку B(-3; 4; 6):

\[ 7 \cdot (-3) - 19 \cdot 4 + 14 \cdot 6 + D = 0 \]

\[ -21 - 76 + 84 + D = 0 \]

\[ D = 13 \]

Итак, уравнение плоскости имеет вид:

\[ 7x - 19y + 14z + 13 = 0 \]

Теперь давайте найдем расстояние от точки A(5; -2; 1) до этой плоскости, используя формулу, которую я упомянул в начале:

\[ d = \frac{{|5 \cdot 7 + (-2) \cdot (-19) + 1 \cdot 14 + 13|}}{{\sqrt{{7^2 + (-19)^2 + 14^2}}}} \]

Раскроем эту формулу:

\[ d = \frac{{|35 + 38 + 14 + 13|}}{{\sqrt{{49 + 361 + 196}}}} \]

\[ d = \frac{{|100|}}{{\sqrt{{606}}}} \]

\[ d = \frac{{100}}{{\sqrt{{606}}}} \]

\[ d \approx 4.080 \]

Таким образом, расстояние от точки A(5; -2; 1) до плоскости, заданной точками B(-3; 4; 6), C(2;-1;3) и D(0;0;5), примерно равно 4.080 единицам.