Найдите компоненты вектора b, если его длина равна 7 и он параллелен вектору а={-6

Для начала нам нужно понять, что значит, что вектор \( \mathbf{b} \) параллелен вектору \( \mathbf{a} \). Векторы параллельны, если один равен другому, умноженному на некоторое число. То есть векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) параллельны, если найдется число \( k \), такое что \( \mathbf{b} = k\mathbf{a} \).

Длина вектора задается формулой \( ||\mathbf{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \), где \( v_1 \), \( v_2 \) и \( v_3 \) - компоненты вектора \( \mathbf{v} \).

Так как длина вектора \( \mathbf{b} \) равна 7, и вектор \( \mathbf{b} \) параллелен вектору \( \mathbf{a} = {-6 \), мы можем записать:

\[ ||\mathbf{b}|| = 7 = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} \]
\[ \mathbf{a} = {-6 = k\mathbf{b} = k(b_1, b_2, b_3)} \]

Из второго уравнения мы видим, что компоненты вектора \( \mathbf{a} \) равны компонентам вектора \( \mathbf{b} \), умноженным на число \( k \). Это означает, что \( b_1 = -6k \), \( b_2 = -6k \) и \( b_3 = -6k \).

Теперь подставим это обратно в первое уравнение:

\[ 7 = \sqrt{(-6k)^2 + (-6k)^2 + (-6k)^2} \]
\[ 7 = \sqrt{36k^2 + 36k^2 + 36k^2} \]
\[ 7 = \sqrt{108k^2} \]
\[ 7 = 6\sqrt{3}k \]

Теперь найдем значение \( k \):

\[ k = \frac{7}{6\sqrt{3}} = \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{18} \]

Итак, компоненты вектора \( \mathbf{b} \) равны:

\[ \mathbf{b} = \left( -6 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{18}, -6 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{18}, -6 \cdot \frac{7\sqrt{3}}{18} \right) \]
\[ \mathbf{b} = \left( -\frac{14\sqrt{3}}{3}, -\frac{14\sqrt{3}}{3}, -\frac{14\sqrt{3}}{3} \right) \]

Таким образом, компоненты вектора \( \mathbf{b} \) равны \( -\frac{14\sqrt{3}}{3} \) в каждом направлении.