Найдите длины высот треугольника со сторонами длиной 13 см, 14 см и

15 см.

Для начала, нам понадобится формула для высоты треугольника. Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Для вычисления длин высот треугольника мы можем воспользоваться формулой \(h = \frac{2 \times S}{a}\), где \(S\) - площадь треугольника, а \(a\) - длина стороны, к которой опущена высота.

Сначала нам необходимо вычислить площадь треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона: \(S = \sqrt{p \times (p - a) \times (p - b) \times (p - c)}\), где \(p\) - полупериметр треугольника, то есть \(p = \frac{a + b + c}{2}\), а \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае, длины сторон треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Таким образом, полупериметр равен \(p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\).

Теперь вычислим площадь треугольника:
\[S = \sqrt{21 \times (21 - 13) \times (21 - 14) \times (21 - 15)}\]
\[S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6}\]
\[S = \sqrt{21 \times 336} = \sqrt{7056} = 84\]

Теперь, зная площадь треугольника, вычислим высоты.
1. Высота, опущенная на сторону длиной 13 см:
\[h_1 = \frac{2 \times S}{13} = \frac{2 \times 84}{13} \approx 12.923 \text{ см}\]

2. Высота, опущенная на сторону длиной 14 см:
\[h_2 = \frac{2 \times S}{14} = \frac{2 \times 84}{14} = 12 \text{ см}\]

3. Высота, опущенная на сторону длиной 15 см:
\[h_3 = \frac{2 \times S}{15} = \frac{2 \times 84}{15} \approx 11.2 \text{ см}\]

Таким образом, длины высот треугольника равны примерно 12.923 см, 12 см и 11.2 см.