найдите длины векторов АВ и АС, скалярное произведение векторов АВ и АС, и угол между векторами АВ и АС, имея

Хорошо! Давайте начнем с нахождения длин векторов AB и AC.

Для нахождения длины вектора AB, мы используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[\text{Длина AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\]

Где \(A(x_1, y_1, z_1)\) и \(B(x_2, y_2, z_2)\) - координаты точек A и B соответственно.

Подставим координаты точек A(1;0;1) и B(-1;5;0) в формулу:

\[\text{Длина AB} = \sqrt{(-1-1)^2 + (5-0)^2 + (0-1)^2}\]

Выполняя вычисления, получим:

\[\text{Длина AB} = \sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30}\]

Таким образом, длина вектора AB составляет \(\sqrt{30}\).

Теперь посчитаем длину вектора AC, используя аналогичную формулу:

\[\text{Длина AC} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\]

Где \(A(x_1, y_1, z_1)\) и \(C(x_2, y_2, z_2)\) - координаты точек A и C соответственно.

Подставим координаты точек A(1;0;1) и C(1;5;0) в формулу:

\[\text{Длина AC} = \sqrt{(1-1)^2 + (5-0)^2 + (0-1)^2}\]

После вычислений получим:

\[\text{Длина AC} = \sqrt{0 + 25 + 1} = \sqrt{26}\]

Таким образом, длина вектора AC равна \(\sqrt{26}\).

Теперь перейдем к нахождению скалярного произведения векторов AB и AC.

Скалярное произведение двух векторов AB и AC можно найти по формуле:

\[\text{Скалярное произведение AB и AC} = AB \cdot AC = |\text{AB}| \cdot |\text{AC}| \cdot \cos{\theta}\]

Где \(|\text{AB}|\) и \(|\text{AC}|\) - длины векторов AB и AC соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами AB и AC.

Подставим полученные значения длин векторов AB и AC в формулу:

\[\text{Скалярное произведение AB и AC} = \sqrt{30} \cdot \sqrt{26} \cdot \cos{\theta}\]

Наконец, найдем угол \(\theta\) между векторами AB и AC. Для этого воспользуемся следующей формулой:

\[\cos{\theta} = \frac{AB \cdot AC} {|\text{AB}| \cdot |\text{AC}|}\]

Подставим значения скалярного произведения и длин векторов в формулу:

\[\cos{\theta} = \frac{\sqrt{30} \cdot \sqrt{26}}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{26}} = 1\]

Так как косинус угла \(\theta\) равен 1, это означает, что угол между векторами AB и AC равен 0 градусов.

Итак, мы получили следующие результаты:
Длина вектора AB: \(\sqrt{30}\)
Длина вектора AC: \(\sqrt{26}\)
Скалярное произведение AB и AC: \(\sqrt{30} \cdot \sqrt{26}\)
Угол между векторами AB и AC: 0 градусов.

Надеюсь, это помогло вам разобраться в решении задачи! Если у вас возникли ещё вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!