Найдите длину стороны AB треугольника ABC, если известны следующие данные: AC = 7,8 см, ∢ B = 45°, ∢ C = 60°. (Ответ

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о тригонометрии и свойствах треугольников. Давайте рассмотрим треугольник ABC:

- У нас известно, что сторона AC равна 7,8 см. Обозначим эту сторону буквой a.

- Также нам даны два угла: ∢B = 45° и ∢C = 60°.

Чтобы найти длину стороны AB, обозначим эту сторону буквой b.

Используем теорему синусов, которая гласит: \[\frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{b}{\sin(\angle B)} = \frac{c}{\sin(\angle C)}\]

Так как нам известно значение угла ∢C, мы можем найти значение угла ∢A. Угол ∢A = 180° - ∢B - ∢C = 75°.

Теперь мы можем записать нашу формулу в виде: \[\frac{7.8}{\sin(75°)} = \frac{b}{\sin(45°)}\]

Чтобы найти длину стороны AB, переставим формулу и решим ее относительно b:

\(b = \frac{7.8 \cdot \sin(45°)}{\sin(75°)}\)

Теперь подставим значения углов и синусов в эту формулу и решим:

\(b = \frac{7.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}\)

\(b = \frac{7.8 \cdot \sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\)

\(b = \frac{31.2}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}\)

Однако, в данной задаче требуется представить ответ в виде наименьшего натурального числа под знаком корня. Чтобы этого достичь, нужно умножить и разделить выражение на \(\sqrt{2} - \sqrt{6}\), чтобы избавиться от сложного знаменателя:

\(b = \frac{31.2}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}\)

\(b = \frac{31.2 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2 - 6}\)

\(b = \frac{31.2 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{-4}\)

\(b = -7.8 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})\)

Видим, что b равно -7.8, что является отрицательным числом. Однако, нам дано, что сторона треугольника является длиной, а длина не может быть отрицательной.

Итак, для того чтобы длина стороны AB была равна наименьшему натуральному числу под знаком корня, мы округлим значение b до ближайшего целого числа:

\(b \approx -8\)

Таким образом, длина стороны AB равна 8 см. Ответ: длина стороны AB равна наименьшему натуральному числу под знаком корня, то есть \(\sqrt{8}\).