Найдите длину стороны AB треугольника ABC, если AC = 41.4 см, ∢ B = 30° и ∢ C = 45°. (Упростите ответ до наименьшего

Давайте решим данную задачу пошагово. Первым шагом нам необходимо использовать теорему синусов для нахождения длины стороны AB.

Теорема синусов гласит, что для произвольного треугольника со сторонами a, b и c, и соответствующими противолежащими углами A, B и C, выполняется следующее соотношение:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

В нашем случае, мы знаем длину стороны AC, которая равна 41.4 см, угол B, который равен 30°, и угол C, который равен 45°. Мы хотим найти длину стороны AB.

Таким образом, мы можем записать следующее соотношение, используя теорему синусов:

\[\frac{41.4}{\sin 45°} = \frac{AB}{\sin 30°}\]

Для решения этого уравнения, давайте выразим AB:

\[AB = 41.4 \cdot \frac{\sin 30°}{\sin 45°}\]

Прежде чем продолжить с решением, давайте вычислим значения синусов 30° и 45°. Значение синуса 30° равно \(0.5\), а значение синуса 45° равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь можем продолжить вычисления:

\[AB = 41.4 \cdot \frac{0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Упростим эту дробь:

\[AB = 41.4 \cdot \frac{0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 41.4 \cdot \frac{0.5 \cdot 2}{\sqrt{2}}\]

Вычислим числитель этой дроби:

\[0.5 \cdot 2 = 1\]

Теперь можем записать окончательное выражение для длины стороны AB:

\[AB = 41.4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Для упрощения этого выражения, давайте умножим на \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\):

\[AB = 41.4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{41.4\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}\]

Сократим \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\):

\[AB = \frac{41.4\sqrt{2}}{2}\]

Упростим это еще дальше, разделив на 2:

\[AB = \frac{41.4\sqrt{2}}{2} = 20.7\sqrt{2}\]

Таким образом, длина стороны AB треугольника ABC равна \(20.7\sqrt{2}\) см (в упрощенной форме).