Яка є довжина радіуса описаного кола в трикутнику ABC, якщо точка O - центр вписаного кола, ВО = 2корінь з 3 см

Для решения этой задачи, нам нужно применить свойства вписанного и описанного треугольников.

Свойство №1: Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, образованного дугой на окружности. Таким образом, угол BOC равен 120° / 2 = 60°.

Свойство №2: Угол, образованный хордой и касательной, равен половине угловой меры хорды. Следовательно, угол BAC равен 60°.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABC относительно радиусов описанного и вписанного окружностей.

Пусть радиус описанного треугольника равен R, а радиус вписанного треугольника равен r.

Так как О - центр вписанной окружности, расстояние от центра O до сторон AB, BC и CA будут равны r.

Также, следуя свойству №2, мы знаем, что BO = CO + r, где CO = 3 см.
Поэтому BO = 3 см + r.

Свойство №1 устанавливает, что угол AOB равен половине угла BAC, который мы уже рассчитали как 60°.
Таким образом, угол AOB равен 30°.

Для дальнейшего решения, мы можем использовать треугольник AOB.

В треугольнике AOB, мы можем применить теорему синусов, чтобы найти значение радиуса описанной окружности R.

Согласно теореме синусов:

$$\frac{AO}{\sin (\mathrm{\angle }AOB)}=\frac{BO}{\sin (\mathrm{\angle }BAO)}$$

Так как мы знаем значения сторон BO и угла AOB, мы можем подставить их и решить уравнение:

$$\frac{r}{\sin ({30}^{\circ })}=\frac{3+r}{\sin ({60}^{\circ })}$$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно r:

$$r\cdot \sin ({60}^{\circ })=(3+r)\cdot \sin ({30}^{\circ })$$

$$\frac{r}{2}=\frac{3+r}{2\sqrt{3}}$$

Решим это уравнение:

$$r=\frac{3+r}{\sqrt{3}}$$

$$r\sqrt{3}=3+r$$

$$r(\sqrt{3}-1)=3$$

$$r=\frac{3}{\sqrt{3}-1}$$

Для удобства рационализуем это значение умножением числителя и знаменателя на сопряженное число:

$$r=\frac{3(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$$

$$r=\frac{3(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}{)}^2-(1{)}^2}$$

$$r=\frac{3(\sqrt{3}+1)}{3-1}$$

$$r=\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$$

Теперь, когда у нас есть значение r, мы можем использовать его, чтобы найти радиус описанного треугольника R.

Используем свойство №2, установленное ранее:

BO = CO + r

BO = 3 см + r

Заменим значение r:

BO = 3 см + $\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2}$ см

BO = $\frac{6+3(\sqrt{3}+1)}{2}$ см

BO = $\frac{6+3\sqrt{3}+3}{2}$ см

BO = $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$ см

Таким образом, длина радиуса описанной окружности в треугольнике ABC составляет $\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$ см.