Яка є довжина радіуса описаного кола в трикутнику ABC, якщо точка O - центр вписаного кола, ВО = 2корінь з 3 см

Для решения этой задачи, нам нужно применить свойства вписанного и описанного треугольников.

Свойство №1: Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла, образованного дугой на окружности. Таким образом, угол BOC равен 120° / 2 = 60°.

Свойство №2: Угол, образованный хордой и касательной, равен половине угловой меры хорды. Следовательно, угол BAC равен 60°.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABC относительно радиусов описанного и вписанного окружностей.

Пусть радиус описанного треугольника равен R, а радиус вписанного треугольника равен r.

Так как О - центр вписанной окружности, расстояние от центра O до сторон AB, BC и CA будут равны r.

Также, следуя свойству №2, мы знаем, что BO = CO + r, где CO = 3 см.
Поэтому BO = 3 см + r.

Свойство №1 устанавливает, что угол AOB равен половине угла BAC, который мы уже рассчитали как 60°.
Таким образом, угол AOB равен 30°.

Для дальнейшего решения, мы можем использовать треугольник AOB.

В треугольнике AOB, мы можем применить теорему синусов, чтобы найти значение радиуса описанной окружности R.

Согласно теореме синусов:

\[\frac{AO}{\sin(\angle AOB)} = \frac{BO}{\sin(\angle BAO)}\]

Так как мы знаем значения сторон BO и угла AOB, мы можем подставить их и решить уравнение:

\[\frac{r}{\sin(30^\circ)} = \frac{3 + r}{\sin(60^\circ)}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно r:

\[r\cdot\sin(60^\circ) = (3 + r)\cdot\sin(30^\circ)\]

\[\frac{r}{2} = \frac{3 + r}{2\sqrt{3}}\]

Решим это уравнение:

\[r = \frac{3 + r}{\sqrt{3}}\]

\[r\sqrt{3} = 3 + r\]

\[r(\sqrt{3} - 1) = 3\]

\[r = \frac{3}{\sqrt{3} - 1}\]

Для удобства рационализуем это значение умножением числителя и знаменателя на сопряженное число:

\[r = \frac{3(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}\]

\[r = \frac{3(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - (1)^2}\]

\[r = \frac{3(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}\]

\[r = \frac{3(\sqrt{3} + 1)}{2}\]

Теперь, когда у нас есть значение r, мы можем использовать его, чтобы найти радиус описанного треугольника R.

Используем свойство №2, установленное ранее:

BO = CO + r

BO = 3 см + r

Заменим значение r:

BO = 3 см + \(\frac{3(\sqrt{3} + 1)}{2}\) см

BO = \(\frac{6 + 3(\sqrt{3} + 1)}{2}\) см

BO = \(\frac{6 + 3\sqrt{3} + 3}{2}\) см

BO = \(\frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}\) см

Таким образом, длина радиуса описанной окружности в треугольнике ABC составляет \(\frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}\) см.