Найди значения экстремумов и нарисуй график функции y=2x^2e^x. Запиши значения точек экстремума (при необходимости

Для начала, чтобы найти значения экстремумов функции \(y=2x^2e^x\), мы должны найти ее первую и вторую производные.

Давайте начнем с первой производной. Чтобы найти первую производную функции, мы будем использовать правило производной произведения и правило производной экспоненциальной функции. Возьмем производную \(y=2x^2e^x\) по отдельным частям и сложим результаты:

\[
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}(2x^2e^x) \\
&= \frac{d}{dx}(2x^2) \cdot e^x + 2x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^x) \\
&= 4xe^x+2x^2e^x \\
&= 2xe^x(2+x)
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть первая производная функции: \(2xe^x(2+x)\).

Затем, для нахождения второй производной, мы снова применяем правило производной произведения. Выполним производные \(2xe^x(2+x)\) по отдельным частям и сложим результаты:

\[
\begin{align*}
\frac{d^2y}{dx^2} &= \frac{d}{dx}\left(2xe^x(2+x)\right) \\
&= \frac{d}{dx}\left(2xe^x\right) \cdot (2+x) + 2xe^x \cdot \frac{d}{dx}(2+x) \\
&= (2e^x+2xe^x)(2+x) + 2xe^x \\
&= (4e^x+4xe^x+2xe^x+2x^2e^x) \\
&= (6xe^x+2x^2e^x+4e^x)
\end{align*}
\]

Таким образом, вторая производная функции \(y=2x^2e^x\) равна \((6xe^x+2x^2e^x+4e^x)\).

Теперь, чтобы найти значения x, при которых функция имеет экстремумы, мы должны решить уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\), то есть первую производную равную нулю.

Решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\):
\[2xe^x(2+x)=0\]

Теперь у нас есть два возможных значения для x. Если \(2xe^x=0\), то либо x=0, либо \(e^x=0\) (что невозможно, так как экспонента \(e^x\) всегда положительна). Если \((2+x)=0\), то x=-2.

Таким образом, у нас есть две точки, где функция может иметь экстремумы: x=0 и x=-2.

Теперь давайте найдем значения y для найденных точек экстремума.

Для x=0:
\[y=2(0)^2e^0=0\]

Для x=-2:
\[y=2(-2)^2e^{-2}=8e^{-2}\approx1,48\]

Таким образом, значения точек экстремума для данной функции:

Минимум: x=0; y=0
Максимум: x=-2; y≈1,48

Теперь давайте рассмотрим интервалы возрастания функции.

Мы знаем, что функция возрастает, когда ее первая производная положительна, и убывает, когда ее первая производная отрицательна.

Мы уже нашли, что первая производная функции равна \(2xe^x(2+x)\). Чтобы понять, когда она положительна или отрицательна, мы проверим знаки каждого множителя.

1. Когда \(2xe^x > 0\) и \((2+x) > 0\):
В этом случае \(x > 0\) и \(x > -2\). То есть интервал возрастания функции находится в промежутке (0; +∞).

Таким образом, интервал возрастания функции \(y=2x^2e^x\) - (0; +∞).