Напишите уравнения прямых, которые являются медианами треугольника АВС, где А(7; 0), В(3; 6), С(-1

Для того чтобы найти уравнения прямых, которые являются медианами треугольника АВС, нам сначала нужно найти координаты вершин треугольника.

Из заданных координат точек А(7; 0), В(3; 6) и С(-1; 2) мы можем заключить, что вершина B находится в середине отрезка AC.

Таким образом, координаты вершины B можно найти, усреднив координаты вершин А и С:

\( x_B = \frac{{x_A + x_C}}{2} = \frac{{7 + (-1)}}{2} = 3 \)
\( y_B = \frac{{y_A + y_C}}{2} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1 \)

Таким образом, координаты вершины B равны B(3; 1).

Мы знаем, что медиана треугольника является отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Поэтому, чтобы найти уравнение медианы, нам нужно найти координаты каждой вершины и середины противолежащей стороны.

Уравнение медианы, проходящей через вершину A и середину стороны BC, можно записать в виде:

\( y - y_A = \frac{{y_B - y_A}}{{x_B - x_A}} (x - x_A) \)

Подставляя координаты вершины A (7; 0) и середину стороны BC (3; 1) в уравнение, получим:

\( y - 0 = \frac{{1 - 0}}{{3 - 7}} (x - 7) \)
\( y = \frac{1}{4} (x - 7) \)

Таким образом, уравнение медианы, проходящей через вершину A и середину стороны BC, равно \( y = \frac{1}{4} (x - 7) \).

Аналогично, используя вершину B(3; 1) и середину стороны AC, мы можем найти уравнение медианы, проходящей через вершину B:

\( y - y_B = \frac{{y_C - y_B}}{{x_C - x_B}} (x - x_B) \)

Подставляя координаты вершины B (3; 1) и середину стороны AC (2; 2) в уравнение, получим:

\( y - 1 = \frac{{2 - 1}}{{(-1) - 3}} (x - 3) \)
\( y = -\frac{1}{4} (x - 3) + 1 \)

Таким образом, уравнение медианы, проходящей через вершину B и середину стороны AC, равно \( y = -\frac{1}{4} (x - 3) + 1 \).

Наконец, используя вершину C(-1; 2) и середину стороны AB, мы можем найти уравнение медианы, проходящей через вершину C:

\( y - y_C = \frac{{y_A - y_C}}{{x_A - x_C}} (x - x_C) \)

Подставляя координаты вершины C (-1; 2) и середину стороны AB (5; 3) в уравнение, получим:

\( y - 2 = \frac{{0 - 2}}{{7 - (-1)}} (x - (-1)) \)
\( y = -\frac{1}{8} (x + 1) + 2 \)

Таким образом, уравнение медианы, проходящей через вершину C и середину стороны AB, равно \( y = -\frac{1}{8} (x + 1) + 2 \).

Итак, уравнения прямых, являющихся медианами треугольника АВС, следующие:

1) Медиана, проходящая через вершину A и середину стороны BC: \( y = \frac{1}{4} (x - 7) \)
2) Медиана, проходящая через вершину B и середину стороны AC: \( y = -\frac{1}{4} (x - 3) + 1 \)
3) Медиана, проходящая через вершину C и середину стороны AB: \( y = -\frac{1}{8} (x + 1) + 2 \)