Напишите уравнение прямой, касательной к кривой, заданной функцией f(x)=x^3+3x^2+x+7, и параллельной прямой y=-2x+1

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться следующими шагами:

1. Найти производную функции $f(x)$. Для этого возьмем производную от каждого коэффициента и умножим на соответствующую степень переменной:
$$f"(x)=3x^2+6x+1$$

2. Найти значение $x$, при котором производная функции $f(x)$ равна коэффициенту наклона параллельной прямой. В данном случае коэффициент наклона прямой равен $-2$. Решим уравнение:
$$3x^2+6x+1=-2$$

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться дискриминантом или формулой корней. Какая из этих формул вам более знакома?

3. Найдя значение $x$, найдем соответствующее значение $y$ для этой точки на кривой $f(x)$. Подставим найденное значение $x$ в уравнение $f(x)$:

$$y=f(x)=x^3+3x^2+x+7$$

4. Итак, мы нашли точку $(x,y)$, которая лежит на кривой $f(x)$ и на прямой $y=-2x+1$. Используя это, мы можем составить уравнение для прямой, которая проходит через эту точку и параллельна заданной прямой.

Для этого воспользуемся уравнением прямой вида $y=kx+b$, где $k$ - коэффициент наклона прямой, а $b$ - свободный член.

Таким образом, уравнение для прямой, касательной к кривой $f(x)$ и параллельной прямой $y=-2x+1$ будет иметь вид:

$$y=-2x+b$$

5. Найдем значение $b$, подставив найденные значения $x$ и $y$ в уравнение прямой:

$$y=-2x+b$$
$$y=-2\cdot x+b$$
$$y=-2\cdot x+48$$

Таким образом, уравнение прямой, касательной к кривой $f(x)=x^3+3x^2+x+7$ и параллельной прямой $y=-2x+1$, будет иметь вид:

$$y=-2x+48$$

Это и есть уравнение прямой, которая касается кривой $f(x)$ и параллельна заданной прямой $y=-2x+1$.