Напишите уравнение прямой, касательной к кривой, заданной функцией f(x)=x^3+3x^2+x+7, и параллельной прямой y=-2x+1

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться следующими шагами:

1. Найти производную функции \(f(x)\). Для этого возьмем производную от каждого коэффициента и умножим на соответствующую степень переменной:
\[f"(x) = 3x^2 + 6x + 1\]

2. Найти значение \(x\), при котором производная функции \(f(x)\) равна коэффициенту наклона параллельной прямой. В данном случае коэффициент наклона прямой равен \(-2\). Решим уравнение:
\[3x^2 + 6x + 1 = -2\]

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться дискриминантом или формулой корней. Какая из этих формул вам более знакома?

3. Найдя значение \(x\), найдем соответствующее значение \(y\) для этой точки на кривой \(f(x)\). Подставим найденное значение \(x\) в уравнение \(f(x)\):

\[y = f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 7\]

4. Итак, мы нашли точку \((x, y)\), которая лежит на кривой \(f(x)\) и на прямой \(y = -2x + 1\). Используя это, мы можем составить уравнение для прямой, которая проходит через эту точку и параллельна заданной прямой.

Для этого воспользуемся уравнением прямой вида \(y = kx + b\), где \(k\) - коэффициент наклона прямой, а \(b\) - свободный член.

Таким образом, уравнение для прямой, касательной к кривой \(f(x)\) и параллельной прямой \(y = -2x + 1\) будет иметь вид:

\[y = -2x + b\]

5. Найдем значение \(b\), подставив найденные значения \(x\) и \(y\) в уравнение прямой:

\[y = -2x + b\]
\[y = -2 \cdot x + b\]
\[y = -2 \cdot x + 48\]

Таким образом, уравнение прямой, касательной к кривой \(f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 7\) и параллельной прямой \(y = -2x + 1\), будет иметь вид:

\[y = -2x + 48\]

Это и есть уравнение прямой, которая касается кривой \(f(x)\) и параллельна заданной прямой \(y = -2x + 1\).