Напишите уравнение плоскости, которая проходит через середины отрезка ab и является перпендикулярной к нему, если

(7, 2, -5).

Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной к нему, нам понадобится некоторая информация. Начнем с нахождения середины отрезка AB.

Для этого, мы можем использовать формулу для нахождения координат середины отрезка. Формула выглядит следующим образом:

\( M = \left(\frac{{x_1 + x_2}}{2}, \frac{{y_1 + y_2}}{2}, \frac{{z_1 + z_2}}{2}\right) \),

где M - координаты середины отрезка, а \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) - координаты концов отрезка.

В данной задаче, координаты точки A равны (3, -4, 7), а координаты точки B равны (7, 2, -5). Подставим их в формулу для нахождения середины отрезка:

\( M = \left(\frac{{3 + 7}}{2}, \frac{{-4 + 2}}{2}, \frac{{7 + (-5)}}{2}\right) = (5, -1, 1) \).

Теперь у нас есть координаты середины отрезка, и мы знаем, что плоскость должна быть перпендикулярна к отрезку AB. Это означает, что вектор, задающий плоскость, должен быть перпендикулярен вектору, задающему отрезок AB.

Вектор, задающий отрезок AB, это разность координат его концов:

\( \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \).

Подставляя значения координат, получаем:

\( \vec{AB} = (7 - 3, 2 - (-4), -5 - 7) = (4, 6, -12) \).

Теперь у нас есть вектор, задающий отрезок AB. Чтобы найти вектор, перпендикулярный данному, мы можем использовать кросс-произведение (или векторное произведение) двух векторов. Кросс-произведение векторов a и b обозначается \(a \times b\), и вычисляется следующим образом:

\(a \times b = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)\).

Подставим значения наших векторов и вычислим кросс-произведение:

\( \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 6 & -12 \\ x & y & z \end{vmatrix} \),

где \( \vec{v} = (x, y, z) \) - искомый вектор, перпендикулярный к вектору AB.

Вычислим определитель:

\( \vec{N} = (6z + 12y, -12z - 4x, 6x - 4y) \).

Таким образом, искомый вектор перпендикулярный вектору AB имеет вид \( \vec{v} = (6z + 12y, -12z - 4x, 6x - 4y) \), где x, y, z - произвольные рациональные числа.

Теперь, когда у нас есть координаты середины отрезка и вектор, перпендикулярный к отрезку AB, можем записать уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\), где A, B, C и D - коэффициенты плоскости.

Подставляя координаты середины отрезка M и координаты вектора перпендикуляра \( \vec{v} = (6z + 12y, -12z - 4x, 6x - 4y) \) в уравнение и упрощая его, получаем:

\( 4(6z + 12y) - 6(-12z - 4x) + (-12)(6x - 4y) + D = 0 \).

Упрощая, получаем:

\( 24z + 48y + 72x + D = 0 \),

где D - произвольное рациональное число.

Итак, уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной к нему, записывается в виде:

\[ 24z + 48y + 72x + D = 0 \],

где D - произвольное рациональное число.