На диске, вращающемся вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр, находится небольшая шайба массой 50 г. Шайба

Хорошо, рассмотрим похожие подзадачи в данной задаче.

А) Чтобы пружина оставалась нерастянутой, необходимо равновесие сил, действующих на шайбу. В данном случае силами, действующими на шайбу, будут сила тяжести и сила трения.

Сила тяжести определяется как \( F_{\text{тяж}} = m \cdot g \), где \( m \) - масса шайбы, а \( g \) - ускорение свободного падения.

Сила трения равна \( F_{\text{тр}} = f_{\text{тр}} \cdot N \), где \( f_{\text{тр}} \) - коэффициент трения, а \( N \) - сила реакции опоры (в данном случае равна силе тяжести).

Таким образом, сумма сил, действующих на шайбу, равна нулю:

\[ F_{\text{тяж}} + F_{\text{тр}} = 0 \]

\[ m \cdot g + f_{\text{тр}} \cdot N = 0 \]

\[ m \cdot g + f_{\text{тр}} \cdot m \cdot g = 0 \]

\[ g \cdot (m + f_{\text{тр}} \cdot m) = 0 \]

\[ g \cdot m \cdot (1 + f_{\text{тр}}) = 0 \]

Отсюда находим условие для наименьшей линейной скорости шайбы:

\[ 1 + f_{\text{тр}} = 0 \]

\[ f_{\text{тр}} = -1 \]

\[ v = \omega \cdot r \]

\[ v = \omega \cdot R \]

\[ \omega = \frac{2 \cdot \pi \cdot N}{t} \]

\[ v = \frac{2 \cdot \pi \cdot N \cdot R}{t} \]

\[ -1 = \frac{2 \cdot \pi \cdot N \cdot R}{t} \]

\[ R = -\frac{t}{2 \cdot \pi \cdot N} \]

Мы можем заметить, что в данном случае требуется отрицательное значение радиуса. Это означает, что диск также должен вращаться в противоположном направлении.

Б) Угловая скорость вращения диска необходима для увеличения длины пружины на 5 см. Мы можем использовать закон Гука для пружин:

\[ F = k \cdot x \]

Где \( F \) - сила, действующая на пружину, \( k \) - жесткость пружины, а \( x \) - деформация пружины.

В данном случае сила, действующая на пружину, обусловлена центростремительным ускорением:

\[ F = m \cdot a_{\text{цс}} \]

\[ F = m \cdot \omega^2 \cdot R \]

\[ m \cdot \omega^2 \cdot R = k \cdot x \]

\[ \omega^2 = \frac{k \cdot x}{m \cdot R} \]

\[ \omega = \sqrt{\frac{k \cdot x}{m \cdot R}} \]

Подставляя значения из условия:

\[ \omega = \sqrt{\frac{100 \, \text{Н/м} \cdot 0,05 \, \text{м}}{0,05 \, \text{кг} \cdot R}} \]

\[ \omega = \sqrt{\frac{100 \cdot 0,05}{R}} \]

\[ \omega = \sqrt{\frac{5}{R}} \]

\[ 5 = \frac{2 \cdot \pi \cdot N \cdot R}{t} \]

\[ R = \frac{5 \cdot t}{2 \cdot \pi \cdot N} \]

В) Для ответа на этот вопрос, соединим полученные уравнения:

\[ -\frac{t}{2 \cdot \pi \cdot N} = \frac{5 \cdot t}{2 \cdot \pi \cdot N} \]

Учитывая, что угловая скорость не может быть отрицательной:

\[ \frac{t}{2 \cdot \pi \cdot N} = \frac{5 \cdot t}{2 \cdot \pi \cdot N} \]

\[ 1 = 5 \]

Это уравнение не имеет решений, так как равенство 1=5 неверно. Таким образом, нет значения угловой скорости, при которой шайба отлетит при угловой скорости 20 рад/с.