Напишите уравнение линейной функции, график которой проходит через начало координат и точку m(-2.5; 4), а также найдите

Давайте начнем с написания уравнения линейной функции, график которой проходит через начало координат (0, 0) и точку \( m(-2.5, 4) \). Для этого мы можем использовать формулу наклона-пересечения (slope-intercept form) уравнения линейной функции: \( y = mx + b \).

Первым шагом нам нужно найти значение наклона \( m \). Мы можем использовать точки начала координат (0, 0) и точку \( m(-2.5, 4) \) для вычисления наклона:

\[ m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} \]

Здесь \( x_1 \) и \( y_1 \) соответствуют точке начала координат (0, 0), а \( x_2 \) и \( y_2 \) соответствуют точке \( m(-2.5, 4) \). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[ m = \frac{{4 - 0}}{{-2.5 - 0}} = \frac{4}{{-2.5}} = -\frac{8}{5} \]

Теперь, зная наклон \( m \), мы можем использовать его и точку начала координат (0, 0) для записи уравнения линейной функции в формате наклона-пересечения:

\[ y = -\frac{8}{5}x + b \]

Осталось только найти значение коэффициента смещения \( b \). Мы знаем, что график этой функции проходит через точку \( m(-2.5, 4) \). Подставим координаты этой точки в уравнение и решим уравнение относительно \( b \):

\[ 4 = -\frac{8}{5} \times (-2.5) + b \]

Выполняя вычисления, получаем:

\[ 4 = \frac{4}{5} + b \]
\[ b = 4 - \frac{4}{5} = \frac{16}{5} \]

Теперь мы знаем все необходимые значения для записи уравнения линейной функции:

\[ y = -\frac{8}{5}x + \frac{16}{5} \]

Теперь перейдем к второй части задачи, где нам нужно найти точку пересечения графика этой функции с прямой \( 3x - 2y - 16 = 0 \). Для этого мы можем подставить уравнение линейной функции в уравнение прямой и решить получившуюся систему уравнений:

\[ 3x - 2y - 16 = 0 \]
\[ -\frac{8}{5}x + \frac{16}{5} - 2y - 16 = 0 \]

Сгруппируем переменные и константы, чтобы решить систему:

\[ -\frac{8}{5}x - 2y + \frac{16}{5} - 16 = 0 \]
\[ -\frac{8}{5}x - 2y - \frac{64}{5} = 0 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Мы можем использовать метод подстановки или метод комбинирования, чтобы решить ее. Я воспользуюсь методом комбинирования.

Умножим первое уравнение на 5, чтобы избавиться от дробей:

\[ -8x - 10y - 64 = 0 \]

Теперь сложим это уравнение с вторым уравнением:

\[ -\frac{8}{5}x - 2y - \frac{64}{5} + (-8x - 10y - 64) = 0 \]
\[ -\frac{8}{5}x - 8x - 2y - 10y - \frac{128}{5} - 64 = 0 \]
\[ -\frac{48}{5}x - 12y -\frac{128}{5} - 64 = 0 \]
\[ -\frac{48}{5}x - 12y - \frac{128}{5} - \frac{320}{5} = 0 \]
\[ -\frac{48}{5}x - 12y - \frac{448}{5} = 0 \]

Теперь мы получили одно уравнение с двумя неизвестными. Решим его относительно \( x \):

\[ -\frac{48}{5}x = 12y + \frac{448}{5} \]
\[ x = -\frac{5}{48} \cdot (12y + \frac{448}{5}) \]
\[ x = -\frac{5}{48} \cdot 12y - \frac{5}{48} \cdot \frac{448}{5} \]
\[ x = -\frac{5}{4}y - \frac{56}{3} \]

Теперь мы нашли выражение для \( x \) через \( y \). Подставим это выражение в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение \( y \). Для удобства возьмем первое уравнение:

\[ -8x - 10y - 64 = 0 \]

Подставляя \( x = -\frac{5}{4}y - \frac{56}{3} \), получаем:

\[ -8 \cdot (-\frac{5}{4}y - \frac{56}{3}) - 10y - 64 = 0 \]
\[ \frac{40}{4}y + \frac{448}{3} - 10y - 64 = 0 \]
\[ \frac{40}{4}y - 10y + \frac{448}{3} -\frac{192}{3} = 0 \]
\[ 10y - 10y + \frac{448}{3} -\frac{192}{3} = 0 \]
\[ \frac{448}{3} - \frac{192}{3} = 0 \]
\[ \frac{256}{3} = 0 \]

Это уравнение не имеет решений. То есть, график линейной функции не пересекается с прямой \( 3x - 2y - 16 = 0 \).

В итоге, уравнение линейной функции, график которой проходит через начало координат и точку \( m(-2.5, 4) \), записывается как:

\[ y = -\frac{8}{5}x + \frac{16}{5} \]

Данный график не пересекается с прямой \( 3x - 2y - 16 = 0 \).